Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend.
Ich schreibe in zwei Tagen eine Prüfung mit dem Schwerpunkt Konvergenz von Reihen und ich habe mich mit folgenden Konvergenzkriterien beschäftigt:
Trivialkriterium
Vergleichskriterium ( Minoranten-Majorantenkriterium)
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Leibniz-Kriterium
Was fehlt ist Konvergenzradius und Cauchysches Verdichtungskriterium.
Meine Frage ist, brauche ich diese beiden unbedingt, um das Konvergenzverhalten von Reihen zu untersuchen?
Also gibt es Reihen bei denen nur eins von den beiden angewendet werden kann?
Ich habe mitbekommen das wohl eine Potenzreihe rankommen soll und dafür ist der Konvergenzradius gut geeignet, stimmt das?
Aber bei Potenzreihen funktioniert das Wurzelkriterium doch auch sehr gut, oder nicht?
Ansonsten würde ich sie auslassen, weil ich die beiden überhaupt nicht verstehe.
Vielen Dank für Hilfe
mfg Lisa
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Hallo Lisa,
> Ich schreibe in zwei Tagen eine Prüfung mit dem
> Schwerpunkt Konvergenz von Reihen und ich habe mich mit
> folgenden Konvergenzkriterien beschäftigt:
>
> Trivialkriterium
> Vergleichskriterium ( Minoranten-Majorantenkriterium)
> Quotientenkriterium
> Wurzelkriterium
> Leibniz-Kriterium
>
> Was fehlt ist Konvergenzradius und Cauchysches
> Verdichtungskriterium.
Habt Ihr die beide gehabt? Dann können sie auch drankommen, wobei ich beim Verdichtungskriterium durchaus auf Lücke lernen würde (auch wenn es ein sehr interessantes Kriterium ist!). Das braucht man sehr selten und normalerweise nicht in solchen Einführungsklausuren.
> Meine Frage ist, brauche ich diese beiden unbedingt, um das
> Konvergenzverhalten von Reihen zu untersuchen?
> Also gibt es Reihen bei denen nur eins von den beiden
> angewendet werden kann?
Da bin ich nicht sicher, aber es gibt Reihen, bei denen jeweils eins dieser beiden Kriterien gnadenlos praktisch ist und den Weg um mehrere Kilometer verkürzt.
> Ich habe mitbekommen das wohl eine Potenzreihe rankommen
> soll und dafür ist der Konvergenzradius gut geeignet,
> stimmt das?
Das kann man so sagen. Auch laut.
> Aber bei Potenzreihen funktioniert das Wurzelkriterium
> doch auch sehr gut, oder nicht?
Das hängt ein bisschen von der Potenzreihe ab. In den meisten Fällen würde ich Dir aber zustimmen.
> Ansonsten würde ich sie auslassen, weil ich die beiden
> überhaupt nicht verstehe.
Das mit dem Konvergenzradius solltest Du besser noch ansatzweise lernen; beim Verdichtungskriterium ist es sicher gut, wenn man weiß, dass es das gibt. Dann findet man es auch wieder, wenn man es mal braucht.
Ansonsten: viel Erfolg bei der Klausur! Wie mir anhand meiner Wahrnehmung des Forums in den letzten Wochen scheint, hast Du fleißig gearbeitet. Auch die Zahl Deiner Fragen ist zurückgegangen, ein Indiz dafür, dass Du jetzt mehr Aufgaben allein lösen kannst als zuvor. Ich denke, Du hättest genügend Grund, Dir ein bisschen Selbstvertrauen zu leisten. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Do 17.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo reverend, vielen lieben Dank für deine Antwort.
Es ist keine Frage mehr offen geblieben, danke :)
Und danke für die lieben Worte am Ende
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
reverend antwortet Dir ja auch noch, aber zum Konvergenzradius: Das, was man
da macht, ist eine direkte Folge aus dem Wurzelkriterium oder auch dem QK.
Von daher kann man das auslassen, verstehen müßte man es eigentlich, wenn
man das WK und QK verstanden hat.
Zum Cauchyschen Verdichtungsssatz: Das ist weniger kompliziert, als es
aussieht. Prüfe halt, ob die Voraussetzungen gegeben sind. Und zur Übung:
Untersuche mal
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha$$
[/mm]
mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz auf Konvergenz. Dabei sei [mm] $\alpha \in \IR$
[/mm]
beliebig, aber fest.
Hinweis: Erst prüft man die Voraussetzungen, dann schreibt man den Faktor
[mm] $2^k$ [/mm] dazu und ersetzt die [mm] $k\,$ [/mm] durch [mm] $2^k\,,$ [/mm] um eine Vergleichsreihe zu
bekommen.
Denn:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha=\sum_{k=1}^\infty a_k$$
[/mm]
wird ja mit
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}}$$
[/mm]
verglichen.
Also: Cauchyscher Verdichtungssatz sollte geübt werden, und mein Beispiel
oben ist ein Standardbeispiel. Sollte es bis dato noch auf keinem Übungsblatt
aufgetaucht sein, also auch sehr geeignet für eine Klausur...
Ergänzung: Dass die Reihe für [mm] $\alpha \le [/mm] 0$ divergiert, ergibt sich ohne das
Cauchysche Verdichtungskriterium - insbesondere ist das Cauchysche
Verdichtungskriterium auch nur für [mm] $\alpha [/mm] > 0$ anwendbar - warum?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Do 17.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo marcel :)
> Hallo Lisa,
>
> reverend antwortet Dir ja auch noch, aber zum
> Konvergenzradius: Das, was man
> da macht, ist eine direkte Folge aus dem Wurzelkriterium
> oder auch dem QK.
> Von daher kann man das auslassen, verstehen müßte man es
> eigentlich, wenn
> man das WK und QK verstanden hat.
>
> Zum Cauchyschen Verdichtungsssatz: Das ist weniger
> kompliziert, als es
> aussieht. Prüfe halt, ob die Voraussetzungen gegeben sind.
> Und zur Übung:
> Untersuche mal
> [mm]\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha[/mm]
> mit dem Cauchyschen
> Verdichtungssatz auf Konvergenz. Dabei sei [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>
> beliebig, aber fest.
>
> Hinweis: Erst prüft man die Voraussetzungen, dann schreibt
> man den Faktor
> [mm]2^k[/mm] dazu und ersetzt die [mm]k\,[/mm] durch [mm]2^k\,,[/mm] um eine
> Vergleichsreihe zu
> bekommen.
> Denn:
> [mm]\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha=\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm]
> wird
> ja mit
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}}[/mm]
> verglichen.
Ich probiere es mal:
[mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}} = 2^k * \bruch{1}{(2^k)^\alpha} = 2^k * \bruch{1}{(2^\alpha)^k} = (\bruch{2}{2^\alpha})^k[/mm]
Jetzt sieht es wie eine geometrische Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n[/mm] und diese konvergiert nur wenn [mm]|q| < 1[/mm] und das ist hier nur für [mm]\alpha > 1[/mm] der Fall.
Und so wie ich das verstanden habe, konvergiert unsere zu untersuchende Reihe genau dann, wenn die Umwandlung der Reihe zu [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}}[/mm] auch konvergiert. Und die konvergiert gerade für [mm]\alpha > 1[/mm], also auch unsere gegebene Reihe.
> Also: Cauchyscher Verdichtungssatz sollte geübt werden,
> und mein Beispiel
> oben ist ein Standardbeispiel. Sollte es bis dato noch auf
> keinem Übungsblatt
> aufgetaucht sein, also auch sehr geeignet für eine
> Klausur...
>
> Ergänzung: Dass die Reihe für [mm]\alpha \le 0[/mm] divergiert,
> ergibt sich ohne das
> Cauchysche Verdichtungskriterium - insbesondere ist das
> Cauchysche
> Verdichtungskriterium auch nur für [mm]\alpha > 0[/mm] anwendbar -
> warum?
Weil die Folge sonst nicht monoton fallend wäre?
Also der Nenner würde dann doch immer kleiner werden.
Liebe Grüße,
Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Do 17.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Lisa,
das sieht ziemlich gut aus!
> > reverend antwortet Dir ja auch noch, aber zum
> > Konvergenzradius: Das, was man
> > da macht, ist eine direkte Folge aus dem
> Wurzelkriterium
> > oder auch dem QK.
> > Von daher kann man das auslassen, verstehen müßte man
> es
> > eigentlich, wenn
> > man das WK und QK verstanden hat.
Das stimmt natürlich. Nur hat man in Klausuren irgendwie nie genügend Zeit, Dinge mal von Grund auf durchzudenken.
> > Zum Cauchyschen Verdichtungsssatz: Das ist weniger
> > kompliziert, als es
> > aussieht.
Jedenfalls die Anwendung ist gar nicht so schwierig. Der Beweis des Satzes ist mühsamer.
> > Prüfe halt, ob die Voraussetzungen gegeben sind.
> > Und zur Übung:
> > Untersuche mal
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha[/mm]
> > mit dem Cauchyschen
> > Verdichtungssatz auf Konvergenz. Dabei sei [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> > beliebig, aber fest.
> >
> > Hinweis: Erst prüft man die Voraussetzungen, dann schreibt
> > man den Faktor
> > [mm]2^k[/mm] dazu und ersetzt die [mm]k\,[/mm] durch [mm]2^k\,,[/mm] um eine
> > Vergleichsreihe zu
> > bekommen.
>
>
> > Denn:
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha=\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm]
> >
> wird
> > ja mit
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}}[/mm]
> >
> verglichen.
>
> Ich probiere es mal:
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}} = 2^k * \bruch{1}{(2^k)^\alpha} = 2^k * \bruch{1}{(2^\alpha)^k} = (\bruch{2}{2^\alpha})^k[/mm]
>
> Jetzt sieht es wie eine geometrische Reihe
Jahaa.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n[/mm] und diese konvergiert nur wenn
> [mm]|q| < 1[/mm] und das ist hier nur für [mm]\alpha > 1[/mm] der Fall.
>
> Und so wie ich das verstanden habe, konvergiert unsere zu
> untersuchende Reihe genau dann, wenn die Umwandlung der
> Reihe zu [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}}[/mm] auch
> konvergiert. Und die konvergiert gerade für [mm]\alpha > 1[/mm],
> also auch unsere gegebene Reihe.
So ist es. Diese Aufgabe ist ein Klassiker, und ich stimme Marcel zu, dass sie ein echter Klausurkandidat ist, wenn sie bisher nicht vorkam.
> > Also: Cauchyscher Verdichtungssatz sollte geübt werden,
> > und mein Beispiel
> > oben ist ein Standardbeispiel. Sollte es bis dato noch
> auf
> > keinem Übungsblatt
> > aufgetaucht sein, also auch sehr geeignet für eine
> > Klausur...
Hm. Meine letzten Zeilen würden wohl eher hierhin gehören.
> > Ergänzung: Dass die Reihe für [mm]\alpha \le 0[/mm] divergiert,
> > ergibt sich ohne das
> > Cauchysche Verdichtungskriterium - insbesondere ist das
> > Cauchysche
> > Verdichtungskriterium auch nur für [mm]\alpha > 0[/mm] anwendbar -
> > warum?
Ah, die perfekte Frage, um eine Denkblockade zu erzeugen...
Es geht nicht um die Unterscheidung [mm] \alpha\le{1} [/mm] und [mm] \alpha>1.
[/mm]
> Weil die Folge sonst nicht monoton fallend wäre?
> Also der Nenner würde dann doch immer kleiner werden.
Richtig. Du hast es schneller begriffen als ich.
Das meinte ich vorhin. Du kannst es doch alles schon ganz gut. Dass man mal irgendwo steckenbleibt, ist völlig normal und kein Grund zur Sorge. Es sei denn, Du bestehst auf der Höchstnote.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Do 17.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo reverend :)
> Hallo Lisa,
>
> das sieht ziemlich gut aus!
>
> > > reverend antwortet Dir ja auch noch, aber zum
> > > Konvergenzradius: Das, was man
> > > da macht, ist eine direkte Folge aus dem
> > Wurzelkriterium
> > > oder auch dem QK.
> > > Von daher kann man das auslassen, verstehen müßte
> man
> > es
> > > eigentlich, wenn
> > > man das WK und QK verstanden hat.
>
> Das stimmt natürlich. Nur hat man in Klausuren irgendwie
> nie genügend Zeit, Dinge mal von Grund auf durchzudenken.
>
> > > Zum Cauchyschen Verdichtungsssatz: Das ist weniger
> > > kompliziert, als es
> > > aussieht.
>
> Jedenfalls die Anwendung ist gar nicht so schwierig. Der
> Beweis des Satzes ist mühsamer.
>
> > > Prüfe halt, ob die Voraussetzungen gegeben sind.
> > > Und zur Übung:
> > > Untersuche mal
> > > [mm]\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha[/mm]
> > > mit dem Cauchyschen
> > > Verdichtungssatz auf Konvergenz. Dabei sei [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>
> > > beliebig, aber fest.
> > >
> > > Hinweis: Erst prüft man die Voraussetzungen, dann schreibt
> > > man den Faktor
> > > [mm]2^k[/mm] dazu und ersetzt die [mm]k\,[/mm] durch [mm]2^k\,,[/mm] um eine
> > > Vergleichsreihe zu
> > > bekommen.
> >
> >
> > > Denn:
> > > [mm]\sum_{k=1}^\infty 1/k^\alpha=\sum_{k=1}^\infty a_k[/mm]
>
> > >
> > wird
> > > ja mit
> > > [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}}[/mm]
> > >
> > verglichen.
> >
> > Ich probiere es mal:
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}} = 2^k * \bruch{1}{(2^k)^\alpha} = 2^k * \bruch{1}{(2^\alpha)^k} = (\bruch{2}{2^\alpha})^k[/mm]
>
> >
> > Jetzt sieht es wie eine geometrische Reihe aus
>
> Jahaa.
>
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n[/mm] und diese konvergiert nur wenn
> > [mm]|q| < 1[/mm] und das ist hier nur für [mm]\alpha > 1[/mm] der Fall.
> >
> > Und so wie ich das verstanden habe, konvergiert unsere zu
> > untersuchende Reihe genau dann, wenn die Umwandlung der
> > Reihe zu [mm]\sum_{k=1}^\infty \red{2^k}*a_{\red{2^k}}[/mm] auch
> > konvergiert. Und die konvergiert gerade für [mm]\alpha > 1[/mm],
> > also auch unsere gegebene Reihe.
>
> So ist es. Diese Aufgabe ist ein Klassiker, und ich stimme
> Marcel zu, dass sie ein echter Klausurkandidat ist, wenn
> sie bisher nicht vorkam.
Da würde ich mich drüber freuen ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> > > Also: Cauchyscher Verdichtungssatz sollte geübt werden,
> > > und mein Beispiel
> > > oben ist ein Standardbeispiel. Sollte es bis dato
> noch
> > auf
> > > keinem Übungsblatt
> > > aufgetaucht sein, also auch sehr geeignet für eine
> > > Klausur...
>
> Hm. Meine letzten Zeilen würden wohl eher hierhin
> gehören.
>
> > > Ergänzung: Dass die Reihe für [mm]\alpha \le 0[/mm] divergiert,
> > > ergibt sich ohne das
> > > Cauchysche Verdichtungskriterium - insbesondere ist
> das
> > > Cauchysche
> > > Verdichtungskriterium auch nur für [mm]\alpha > 0[/mm] anwendbar -
> > > warum?
>
> Ah, die perfekte Frage, um eine Denkblockade zu
> erzeugen...
> Es geht nicht um die Unterscheidung [mm]\alpha\le{1}[/mm] und
> [mm]\alpha>1.[/mm]
>
> > Weil die Folge sonst nicht monoton fallend wäre?
> > Also der Nenner würde dann doch immer kleiner werden.
>
> Richtig. Du hast es schneller begriffen als ich.
> Das meinte ich vorhin. Du kannst es doch alles schon ganz
> gut. Dass man mal irgendwo steckenbleibt, ist völlig
> normal und kein Grund zur Sorge. Es sei denn, Du bestehst
> auf der Höchstnote.
Oh danke, Lob höre ich nur selten, deshalb freue ich mich umso mehr :)
In der 1.Prüfung sind 84.% durchgefallen, ich leider auch :(
Ich hoffe, dass ich dieses mal bestehe. Ich kann viele Aufgabe lösen, aber es gibt auch viele Aufgaben, bei denen ich keine Idee zu hätte und vor denen habe ich Angst.
In der ersten Aufgabe sollen wir Folgen auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert angeben.
Hier wüsste ich es zum Beispiel nicht: [mm]a_n = \bruch{1}{2^n} \vektor{n \\
k}[/mm]
*Ich mache am besten gleich noch einmal einen neuen Thread dazu auf.*
Vielen Dank nochmal reverend :)
> Herzliche Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:25 Do 17.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
vor Klausuren ist es meistens nützlicher, genügend zu schlafen, damit sich das Hirn reorganisieren kann. Lies mal bei Gelegenheit ein bisschen zur aktuellen Lern- und Hirnforschung.
Übrigens ist unsere Zitierfunktion ja praktisch, aber manchmal werden die Posts dann doch lang. Ich kürze darum einfach mal beherzt. Auch dazu gibt es hier ganz verschiedene Einstellungen...
> > Du hast es schneller begriffen als ich.
> > Das meinte ich vorhin. Du kannst es doch alles schon ganz
> > gut. Dass man mal irgendwo steckenbleibt, ist völlig
> > normal und kein Grund zur Sorge. Es sei denn, Du bestehst
> > auf der Höchstnote.
>
> Oh danke, Lob höre ich nur selten, deshalb freue ich mich
> umso mehr :)
> In der 1.Prüfung sind 84.% durchgefallen, ich leider auch
> :(
Bei 84% war entweder die Lehrveranstaltung (Vorlesung, Übung und Tutorium zusammen) grottenschlecht oder der Bewertungsschlüssel unangemessen. Denkbar wäre auch noch, dass ca. 84% einfach zu doof für ein Studium sind. In diesem Fall sollten wir uns mal kollektiv aufhängen oder uns wenigstens aus der Weltgemeinschaft verabschieden. Auch ein Grund für die Förderung der Raumfahrt.
Mal ehrlich: ich neige ja zu den ersten beiden Gründen, ein klares Indiz für eine optimistische Grundeinstellung und das völlige Fehlen von Selbstkritik. 
> Ich hoffe, dass ich dieses mal bestehe.
Gute Idee. Wenn Du nichts anderes vorhast, mach das doch einfach.
> Ich kann viele
> Aufgabe lösen, aber es gibt auch viele Aufgaben, bei denen
> ich keine Idee zu hätte und vor denen habe ich Angst.
Fassbinder hin, Fassbinder her, aber sein Filmtitel "![[]](/images/popup.gif) Angst essen Seele auf" ist zu Recht zum geflügelten Wort geworden. Lern lieber, Klausuren ökonomisch anzugehen, setz Deine Zeit punktebringend ein. Niemand verlangt, dass Du die Aufgaben in der gegebenen Reihenfolge bearbeitest. Schreib alles auf, das Du sofort überblickst. Nimm Dir danach Zeit, das restliche Chaos zu ordnen und auf Einfälle zu warten. Wo Dir nichts einfällt, schreib wenigstens die wahrscheinlich nötigen Definitionen auf und vielleicht auch irgendeinen Lösungs- oder Beweisansatz, und sei es der unwahrscheinlichste und schwachsinnigste. Viele Korrektoren geben gar nicht so ungern Punkte, aber wo nichts steht, kann man auch nichts bewerten oder belohnen.
> In der ersten Aufgabe sollen wir Folgen auf Konvergenz
> untersuchen und den Grenzwert angeben.
> Hier wüsste ich es zum Beispiel nicht: [mm]a_n = \bruch{1}{2^n} \vektor{n \\
k}[/mm]
Fühlt sich konvergent an, wobei ich schon noch gern wüsste, was eigentlich k ist.
Warum ist das wahrscheinlich konvergent, obwohl noch nicht mal die Aufgabe klar ist? Na, einfach weil [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}=2^n [/mm] ist. Und hier steht nur einer dieser n+1 aufsummierten Binomialkoeffizienten. Wenn das divergiert, fresse ich einen Besen. Oder einen Salat von Fischaugen, was ungefähr auf das gleiche hinauskommt. Es gäbe noch Schlimmeres, aber da würde ich mir dann lieber den Besen aufbacken.
> *Ich mache am besten gleich noch einmal einen neuen Thread
> dazu auf.*
Gute Idee.
> Vielen Dank nochmal reverend :)
Das sagtest Du doch schon.
Die Wahrnehmungspsychologie behauptet allerdings, dass man ein Lob ungefähr sieben Mal hören muss, bevor es tatsächlich zu einem durchdringt.
Das wende ich also mal an:
Du bist schon ziemlich gut vorbereitet.
Du lernst engagiert und mit eigenem Einsatz.
Du findest viele Lösungen ganz alleine.
Du weißt sogar, wovor Du Angst hast. Ein guter Anfang.
Du wirst das hinbekommen. Die Aufgaben sind bestimmt nicht das Problem, eher Deine Befürchtung, sie nicht lösen zu können. Die letzte löst Du wahrscheinlich schon 10 Minuten nach Abgabe, noch auf dem Weg in die Cafeteria (oder Mensa). Und das ist einfach gut. Mindestens 84% der anderen werden zu dieser Zeit noch Fragezeichen in den Augen haben. Verlass Dich einfach drauf, dass Du genug getan hast und alles andere als blöd bist.
Hm. Ich konnte noch nie bis sieben zählen. Das sind irgendwie viel zu deutlich mehr als drei.
Hier war übrigens irgendwo ein Bett. Ich suche noch danach. Aber irgendwo höre ich es dumpf rufen...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 Do 17.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
> Hallo nochmal,
>
> vor Klausuren ist es meistens nützlicher, genügend zu
> schlafen, damit sich das Hirn reorganisieren kann. Lies mal
> bei Gelegenheit ein bisschen zur aktuellen Lern- und
> Hirnforschung.
Okay :)
Aber ich schreibe zum Glück "erst" am Freitag Nachmittag.
> > > Du hast es schneller begriffen als ich.
> > > Das meinte ich vorhin. Du kannst es doch alles schon
> ganz
> > > gut. Dass man mal irgendwo steckenbleibt, ist völlig
> > > normal und kein Grund zur Sorge. Es sei denn, Du bestehst
> > > auf der Höchstnote.
> >
> > Oh danke, Lob höre ich nur selten, deshalb freue ich mich
> > umso mehr :)
> > In der 1.Prüfung sind 84.% durchgefallen, ich leider
> auch
> > :(
>
> Bei 84% war entweder die Lehrveranstaltung (Vorlesung,
> Übung und Tutorium zusammen) grottenschlecht oder der
> Bewertungsschlüssel unangemessen. Denkbar wäre auch noch,
> dass ca. 84% einfach zu doof für ein Studium sind. In
> diesem Fall sollten wir uns mal kollektiv aufhängen oder
> uns wenigstens aus der Weltgemeinschaft verabschieden. Auch
> ein Grund für die Förderung der Raumfahrt.
>
> Mal ehrlich: ich neige ja zu den ersten beiden Gründen,
> ein klares Indiz für eine optimistische Grundeinstellung
> und das völlige Fehlen von Selbstkritik.
Da die Durchfallquote in den letzten Jahren immer so hoch lag, werden jetzt drei Prüfungen geschrieben und am Ende die Puntke addiert und der Notenschlüssel angepasst.
Also haben alle noch eine Chance zu bestehen, aber in der ersten Prüfung ist es 84% nicht gelungen zu bestehen.. :/
Es waren zwei Aufgaben, jeweils 10 Punkte und die erste Aufgabe haben auch die meisten gemeistert, aber die 2.Aufgabe lief für fast alle sehr schlecht..
> > Ich hoffe, dass ich dieses mal bestehe.
>
> Gute Idee. Wenn Du nichts anderes vorhast, mach das doch
> einfach.
> > Ich kann viele
> > Aufgabe lösen, aber es gibt auch viele Aufgaben, bei denen
> > ich keine Idee zu hätte und vor denen habe ich Angst.
>
> Fassbinder hin, Fassbinder her, aber sein Filmtitel
> "Angst essen Seele auf"
> ist zu Recht zum geflügelten Wort geworden. Lern lieber,
> Klausuren ökonomisch anzugehen, setz Deine Zeit
> punktebringend ein. Niemand verlangt, dass Du die Aufgaben
> in der gegebenen Reihenfolge bearbeitest. Schreib alles
> auf, das Du sofort überblickst. Nimm Dir danach Zeit, das
> restliche Chaos zu ordnen und auf Einfälle zu warten. Wo
> Dir nichts einfällt, schreib wenigstens die wahrscheinlich
> nötigen Definitionen auf und vielleicht auch irgendeinen
> Lösungs- oder Beweisansatz, und sei es der
> unwahrscheinlichste und schwachsinnigste. Viele Korrektoren
> geben gar nicht so ungern Punkte, aber wo nichts steht,
> kann man auch nichts bewerten oder belohnen.
Okay, ich werde daran denken :)
> > Vielen Dank nochmal reverend :)
>
> Das sagtest Du doch schon.
> Die Wahrnehmungspsychologie behauptet allerdings, dass man
> ein Lob ungefähr sieben Mal hören muss, bevor es
> tatsächlich zu einem durchdringt.
Ich kann einfach nicht genug danken. Hier im Forum nimmt man sich für mich Zeit, um mir zu helfen und das einzige was ich zurückgeben kann ist ein Dankeschön. Deswegen kommt das auch so oft von mir, obwohl das vielleicht auch nerven kann..
> Das wende ich also mal an:
> Du bist schon ziemlich gut vorbereitet.
> Du lernst engagiert und mit eigenem Einsatz.
> Du findest viele Lösungen ganz alleine.
> Du weißt sogar, wovor Du Angst hast. Ein guter Anfang.
> Du wirst das hinbekommen. Die Aufgaben sind bestimmt nicht
> das Problem, eher Deine Befürchtung, sie nicht lösen zu
> können. Die letzte löst Du wahrscheinlich schon 10
> Minuten nach Abgabe, noch auf dem Weg in die Cafeteria
> (oder Mensa). Und das ist einfach gut. Mindestens 84% der
> anderen werden zu dieser Zeit noch Fragezeichen in den
> Augen haben. Verlass Dich einfach drauf, dass Du genug
> getan hast und alles andere als blöd bist.
Okay :)
Wenn
> das divergiert, fresse ich einen Besen. Oder einen Salat
> von Fischaugen, was ungefähr auf das gleiche hinauskommt.
> Es gäbe noch Schlimmeres, aber da würde ich mir dann
> lieber den Besen aufbacken.
>
Haha :D
Jetzt gehe ich auch noch mit einem Lächeln ins Bett, danke ;)
> Hm. Ich konnte noch nie bis sieben zählen. Das sind
> irgendwie viel zu deutlich mehr als drei.
Du kriegst aber trotzdem nochmal ein liebes Dankeschön :)
> Hier war übrigens irgendwo ein Bett. Ich suche noch
> danach. Aber irgendwo höre ich es dumpf rufen...
Ich schreibe ja sowieso "erst" am Freitag, also ist es noch nicht so dringend. :P
Schlaf gut :)
> Grüße
> reverend
>
Gruß,
Lisa
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Ich beschäftige mich nun doch noch mit dem Konvergenzradius.
Es muss eine Reihe dieser Form vorliegen:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n[/mm]
Mich irritiert dieses x - [mm] x_0.
[/mm]
[mm] a_n [/mm] ist eine Folge und dieses [mm]x-x_0[/mm] sind konstanten oder was sollen die darstellen?
Wie würde eine passende Reihe aussehen?
Gruß,
Lisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
>
> Ich beschäftige mich nun doch noch mit dem
> Konvergenzradius.
>
> Es muss eine Reihe dieser Form vorliegen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n[/mm]
>
> Mich irritiert dieses x - [mm]x_0.[/mm]
> [mm]a_n[/mm] ist eine Folge und dieses [mm]x-x_0[/mm] sind konstanten oder
> was sollen die darstellen?
> Wie würde eine passende Reihe aussehen?
nein, [mm] $x_0$ [/mm] ist da ein Parameter, der i.a. also beliebig, aber fest sein kann.
Habt ihr schon mal den Konvergenzkreis in [mm] $\IC$ [/mm] gezeichnet? Das ist eine
offene Kreisscheibe, ihr Mittelpunkt wäre dann [mm] $x_0 \in \IC\,,$ [/mm] wobei man
[mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] in spezieller Weise identifiziert, und der Radius dieser
offenen Kreisscheibe wäre dann halt der Konvergenzradius - daher auch
diese Namen.
Falls das unbekannt ist: Wenn Du [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ [/mm] hast
mit $x [mm] \in \IR$ [/mm] als Variable und [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] als Parameter, und dann weißt, dass der
Konvergenzradius [mm] $R=1/\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] ist, dann
weißt Du doch, dass die obenstehende Potenzreihe jedenfalls konvergiert,
wenn [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < R$ ist und divergiert, wenn [mm] $|x-x_0| [/mm] > R$ ist.
Mach' Dir mal klar, dass hier [mm] $|x-x_0| [/mm] < R$ nichts anderes bedeutet als
[mm] $$x_0-R [/mm] < x < [mm] x_0+R\,$$
[/mm]
(im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist [mm] $\{x \in \IR^2: \|x-x_0\|_2 < R\}$ [/mm] eben die offene
Kreisscheibe mit [mm] $x_0 \in \IR^2$ [/mm] als Mittelpunkt und [mm] $R\,$ [/mm] als Radius)
also konvergiert die Reihe, wenn [mm] $x\,$ [/mm] im Intervall [mm] $(x_0-R,x_0+R)\,$ [/mm] liegt.
Das ist quasi das eindimensionale analogon zum "offenen Kreis" (das ist ja eine
Fläche gemäß des Gebrauchs im Alltag):
Das Intervall ist quasi ein eindimensionaler Kreis mit Mittelpunkt [mm] $x_0$ [/mm] (der
Mittelpunkt eines Intervalls ist geometrisch klar, algebraisch kannst Du ihn
bspw. berechnen, in dem das arithmetische Mittel aus der linken und der
rechten Intervallgrenze bildest; und es ist halt offenbar [mm] $\tfrac{(x_0-R)+(x_0+R)}{2}=x_0$) [/mm]
und Radius [mm] $R\,.$ [/mm] Beachte aber: Für die [mm] $x\,$ [/mm] in diesem offenen Intervall
konvergiert die Reihe, aber wir können nur sagen, dass "außerhalb des
ZUGEHÖRIGEN ABGESCHLOSSENEN Intervalls" es nur [mm] $x\,$ [/mm] gibt, für die die Reihe divergiert - was an den Intervallrändern passiert, muss separat
untersucht werden.
Und machen wir mal ein halbkonkretes Beispiel:
"Geben Sie für [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, den Konvergenzkreis der
Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*(x-x_0)^n$$
[/mm]
an!"
Da schreibst Du halt (nach entsprechender Rechnung): Der Konvergenzkreis
dieser Reihe ist [mm] $(x_0-1,x_0+1)\,.$ [/mm] D.h., für $x [mm] \in (x_0-1,x_0+1)$ [/mm] konvergiert
die Reihe, und für $x [mm] \notin \red{[}x_0-1,x_0+1\red{]}$ [/mm] divergiert die Reihe.
(Das Konvergenzverhalten für $x [mm] \in \{x_0-1,\;x_0+1\}$ [/mm] muss jeweils separat
untersucht werden - das habe ich mir direkt einfach erspart.)
Und machen wir daraus mal ein ganz konkretes Beispiel:
"Geben Sie den Konvergenzkreis der Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty n*(x-(15/12))^n$$
[/mm]
an!"
Da schreibst Du halt (nach entsprechender Rechnung): Der Konvergenzkreis
dieser Reihe ist [mm] $(15/12-1,15/12+1)=(3/12,\,27/12)\,.$ [/mm] D.h., für $x [mm] \in (3/12,\,27/12)$ [/mm] konvergiert
die Reihe, und für $x [mm] \notin \red{[}3/12,\,27/12\red{]}$ [/mm] divergiert die Reihe.
(Das Konvergenzverhalten für $x [mm] \in \{3/12,\;27/12\}$ [/mm] muss jeweils separat
untersucht werden - das habe ich mir direkt einfach erspart.)
Gruß,
Marcel
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