Konvergenzradius 1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:01 Mi 11.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi, ich hänge bei einer Aufgabe fest und hoffe auf Hilfe. Gesucht ist der Konvergenzradius.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^n}{1+2^n}x^{n^2}. [/mm] Meine Idee ist es l:=n² zu setzten, damit ich eine allgemeine Potenzreihe bekomme, das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie die Reihe dann aussieht.. Mein Versuch : [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^n}{1+2^n}x^{l}. [/mm] Ich weiß auch, dass [mm] n=\sqrt{l} [/mm] ist, sollte ich das berücksichtigen, oder direkt weitermachen ?
Danke schonmal und viele Grüße
p.s. Ich habe diese Frage nicht wo anders gestellt..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, ich hänge bei einer Aufgabe fest und hoffe auf Hilfe.
> Gesucht ist der Konvergenzradius.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^n}{1+2^n}x^{n^2}.[/mm]
der Laufindex ist sicher [mm] $n\,,$ [/mm] nicht [mm] $i\,$ [/mm] - und beginnt bei [mm] $0\,.$ [/mm] (Letzteres ist nicht wirklich wichtig, außer für den Reihenwert!)
> Meine Idee
> ist es l:=n² zu setzten, damit ich eine allgemeine
> Potenzreihe bekomme, das Problem ist, dass ich nicht genau
> weiß, wie die Reihe dann aussieht.. Mein Versuch :
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^n}{1+2^n}x^{l}.[/mm] Ich weiß
> auch, dass [mm]n=\sqrt{l}[/mm] ist, sollte ich das berücksichtigen,
> oder direkt weitermachen ?
Natürlich ist das zu berücksichtigen. Aber Du kannst so nicht vorgehen (also nicht danach einfach [mm] $l\,$ [/mm] von [mm] $0\,$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] laufen lassen), wenn schon, dann müßtest Du etwa so vorgehen:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{1+2^n}x^{n^2}=\sum_{l \in Q}\frac{2^{\sqrt{l}}}{1+2^{\sqrt{l}}}x^l\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $Q:=\{m^2: m \in \IN_0 \}\,,$ [/mm] also die Menge der Quadratzahlen ist - die bei der Reihe rechterhand "von klein nach groß durchlaufen werden soll" . Andernfalls würdest Du doch Summanden in der Reihe ergänzen, die es vorher nicht gab:
Falls das unklar ist, schreibe Dir mal die Teilsummenfolge hin.
> Danke schonmal und viele Grüße
>
> p.s. Ich habe diese Frage nicht wo anders gestellt..
Wie Du hier vorgehen kannst, habe ich schon mehrmals im Forum beschrieben, zuletzt hier (ich nannte es einfach "Funktionenreihe in Potenzreihenform mit Methode der auffüllenden Nullen bringen"), früher schonmal etwa hierEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Wenn Du das verstanden hast, siehst Du, dass es hier darum geht
$$\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n^2]{\left|\frac{2^n}{1+2^n}\right|}$$
zu berechnen - das ist dann der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 12.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi, ich probiere es noch einmal.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}x^{i^2}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^ix^i}{1+2^i}x^i
[/mm]
Sei also nun [mm] $a_i:=\bruch{2^ix^i}{1+2^i}$. [/mm] Dann erhalte ich die allgemeine Potenzreihe und untersuche nun [mm] $a_i$.
[/mm]
Mit QK folgt :
[mm] \bruch{2^{i+1}x^{i+1}}{1+2^{i+1}}\bruch{1+2^i}{2^ix^i}=\bruch{2x(1+2^i)}{1+2^{i+1}}=\bruch{2x+2^{i+1}x}{1+2^{i+1}}=\bruch{x+\bruch{x}{2^i}}{1+\bruch{1}{2^{i+1}}} [/mm] und für [mm] i->\infty [/mm] geht das ganze gegen x.
Stimmt das so ?
Das würde doch heißen, dass die Reihe zunächst für |x|<1 absolut konvergiert und das ich das für x=1 nochmal betrachten muss. Habe es hier auch mit dem QK probiert, aber leider kam 1 raus, also keine Aussage. Nun probiere ich eine Minorante zu finden..
Ist das soweit richtig alles ? Bin für jede Antwort dankbar.
Gruß
p.s. Danke übrigens auch an FRED
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Hallo DM08,
> Hi, ich probiere es noch einmal.
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}x^{i^2}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^ix^i}{1+2^i}x^i[/mm]
> Sei also nun [mm]a_i:=\bruch{2^ix^i}{1+2^i}[/mm].
Nein, da darf kein [mm]x[/mm] drin stehen!
> Dann erhalte ich
> die allgemeine Potenzreihe und untersuche nun [mm]a_i[/mm].
>
> Mit QK folgt :
>
> [mm]\bruch{2^{i+1}x^{i+1}}{1+2^{i+1}}\bruch{1+2^i}{2^ix^i}=\bruch{2x(1+2^i)}{1+2^{i+1}}=\bruch{2x+2^{i+1}x}{1+2^{i+1}}=\bruch{x+\bruch{x}{2^i}}{1+\bruch{1}{2^{i+1}}}[/mm]
> und für [mm]i->\infty[/mm] geht das ganze gegen x.
>
> Stimmt das so ?
Selbst wenn, was sollte das dann bedeuten??!
>
> Das würde doch heißen, dass die Reihe zunächst für
> |x|<1 absolut konvergiert
Wieso das? Woraus folgerst du das denn?
> und das ich das für x=1 nochmal
> betrachten muss. Habe es hier auch mit dem QK probiert,
> aber leider kam 1 raus, also keine Aussage. Nun probiere
> ich eine Minorante zu finden..
>
> Ist das soweit richtig alles ? Bin für jede Antwort
> dankbar.
Nein, das ist mit Verlaub grober Unfug!
Marcel hat doch geschrieben, was du berechnen musst, warum machst du das nicht?
Bzw. verfolge Freds Hinweis, das ist einfacher ...
Die Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] hat er ja vorgemacht, zeige noch die Divergenz für [mm]x=1[/mm]
Setze dazu [mm]x=1[/mm] in die Reihe ein und zeige, dass sie divergiert ...
Dazu brauchst du kein QK und keine Minorante - das Trivialkriterium hilft hier sehr schnell.
Wenn die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist, so divergiert die zugeh. Reihe ...
>
> Gruß
>
> p.s. Danke übrigens auch an FRED
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 12.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Danke, da habe ich wohl was durcheinander gebracht..
Nach dem Hinweis von FRED gilt die absolute Konvergenz für $|x|<1$.
Sei nun $x=1$. Dann gilt :
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}1^{i^2}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}
[/mm]
Hier gilt : [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}=1\not=0 [/mm] und damit gilt das notwendige Kriterium nicht für die Konvergenz der Reihe für $x=0$.
Ist das so richtig ?
Es ist weiterhin nach dem Konvergenzradius gefragt, wieso folgt nun, dass dieser 1 ist ? Irgendwo hackt es bei mir.. Danke Dir !
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Hallo nochmal,
> Danke, da habe ich wohl was durcheinander gebracht..
>
> Nach dem Hinweis von FRED gilt die absolute Konvergenz für
> [mm]|x|<1[/mm].
>
> Sei nun [mm]x=1[/mm]. Dann gilt :
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}1^{i^2}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}[/mm]
>
> Hier gilt :
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}=1\not=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und
> damit gilt das notwendige Kriterium nicht für die
> Konvergenz der Reihe für [mm]x=0[/mm].
Für [mm]x=1[/mm]
>
> Ist das so richtig ?
Ja!
>
> Es ist weiterhin nach dem Konvergenzradius gefragt, wieso
> folgt nun, dass dieser 1 ist ? Irgendwo hackt es bei mir..
Oder hakt es? 
Na, den hast du (bzw. Fred doch ausgerechnet) - Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm], dh. für [mm]-1
Hast du eine Potenzreihe [mm]\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i(x-x_0)^{i}[/mm] und hast den Konvergenzradius zu [mm]\rho[/mm] berechnet, so hast du Konvergenz für [mm]|x-x_0|<\rho[/mm] und Divergenz für [mm]|x-x_0|>\rho[/mm]
Hier bei dir ist [mm]x_0=0[/mm] und [mm]\rho=1[/mm]
> Danke Dir !
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Do 12.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Ja, es hakt wohl :D
Danke Dir !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo DM08,
>
>
> > Hi, ich probiere es noch einmal.
> >
> >
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^i}{1+2^i}x^{i^2}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^ix^i}{1+2^i}x^i[/mm]
> > Sei also nun [mm]a_i:=\bruch{2^ix^i}{1+2^i}[/mm].
>
> Nein, da darf kein [mm]x[/mm] drin stehen!
darf schon, dann ist [mm] $a_i=a_i(x)$ [/mm] und er untersucht mit dem QK die Reihe
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k(x)$$
[/mm]
auf Konvergenz bzw. Divergenz bzw. Bereiche, wo er mit dem QK evtl. keine Aussage treffen kann.
Nur, weil man Funktionenreihen normalerweise in der Form
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$$
[/mm]
schreibt, heißt das doch nicht, dass man das immer so machen muss.
Im Gegenteil: Die Herleitung des Konvergenzradius von Potenzreihen
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$$
[/mm]
basiert doch gerade darauf, dass man das WK auf die Summanden [mm] $s_k(x):=a_k(x-x_0)^k$ [/mm] anwendet!
Sein obiger Fehler ist aber, dass er diese Summanden [mm] $s_k(x)\,$ [/mm] nicht wirklich passend benutzt - außerdem kenne ich keine Regel der Form
[mm] $$x^{k^2}=(x^k)^2\,.$$
[/mm]
Meines Wissens nach ist nämlich etwa [mm] $2^{3^2}=2^9\,,$ [/mm] aber [mm] $(2^3)^2=2^6\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Do 12.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Danke dir Marcel, habe mich schon gewundert =)
Aber du hast recht, ich habe einen blöden Flüchtigkeitsfehler von Anfang an gemacht..
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Mi 11.04.2012 | | Autor: | fred97 |
1. Für |x|<1 ist
[mm] $\bruch{2^n}{1+2^n}|x|^{n^2} \le |x|^{n^2} \le |x|^n$.
[/mm]
Mit dem Majorantenkrit. folgt, dass die Potenzreihe für |x|<1 absolut konvergiert.
2. Du zeigst nun, dass die Potenzreihe für x=1 divergiert.
3. Aus 1. und 2. folgt: der gesuchte Konvergenzradius = 1.
FRED
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