Konvergenzradius Potenzreih. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Di 06.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{z}{3-5i})^k [/mm] |
Ich komm da einfach nicht auf den Konvergenzradius..
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Di 06.07.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{z}{3-5i})^k[/mm]
> Ich komm da
> einfach nicht auf den Konvergenzradius..
für eine Reihe der Form [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}z^{k} [/mm] bestimmt man den Konvergenzradius mit der Formel von Cauchy-Hadamard ganz einfach: [mm] \rho=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{k}|}} [/mm]
Diese Formel kennst du sicher oder?
Jetzt musst du nur noch die [mm] $a_k$ [/mm] ablesen und einsetzen.
Grüße, Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ja, die Formel kenn ich.
Das Problem ist, dass ich nicht das ak sehe.
Kann ich den Term irgendwie auseinanderziehen?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zocca!
Es gilt:
[mm] $$\left(\bruch{z}{3-5*i}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{z^k}{(3-5*i)^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(3-5*i)^k}*z^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \rho=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_{k}|}} $
ak= \bruch{1}{(3-5\cdot{}i)^k}
$ \rho=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty (1 / 3-5*i)} $
Aber der Konvergenzradius ist ja nicht: 3-5*i wie verhalte ich mich denn mit dem komplexen Teil?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zocca!
Du ignorierst die Betragsstriche in der o.g. Formel.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \rho=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty (|1 / 3-5\cdot{}i|)} $
Muss es dann heißen, denk ich...dennoch komm ich da nicht wirklich weiter. Ist ach die Stelle an der ich am Anfang schon mal gehangen bin.
Macht die Schreibweise oben noch Sinn, da ja kein k mehr im Term vorhanden ist..
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty (|1 / \red{(}3-5\cdot{}i\red{)}|)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $=\limsup\limits_{k\to\infty}|3-5i|$
[/mm]
$=|3-5i|$ (hängt ja nix mehr von k ab).
Und den Betrag einer komplexen Zahl kannst du doch wohl berechnen.
Wenn du nicht mehr weißt wie, schaue nach, wie der Betrag definiert ist ...
>
>
> Muss es dann heißen, denk ich...dennoch komm ich da nicht
> wirklich weiter. Ist ach die Stelle an der ich am Anfang
> schon mal gehangen bin.
>
> Macht die Schreibweise oben noch Sinn, da ja kein k mehr im
> Term vorhanden ist..
Klar, das ist ne Konstante ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 07.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Super, also ist der Konvergenzradius [mm] \wurzel{34}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Super, also ist der Konvergenzradius [mm]\wurzel{34}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Di 06.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zocca!
In Anlehnung an die geometrische Reihe [mm] $\summe q^k$ [/mm] muss für Konvergenz gelten:
$$|q| \ < \ 1$$
Gruß
Loddar
|
|
|
|
