Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 So 25.05.2014 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} p(x)=\bruch{2k+1}{k^2(k+1)^2} x^k [/mm]
und [mm] p(1) [/mm]. |
Schaut euch bitte mal im Anhang meine Rechnung an, ich glaube ich habe das noch nicht richtig verstanden, bzw. weiß ich nicht was ich damit nun anfangen soll.
Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 So 25.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo jayw,
bitte habe Verständnis dafür, dass wir deinen Anhang in der jetzigen Form nicht freigeben können, da da ein Aufagenzettel draufgeklebt ist (du bist somit nicht der alleinige Urheber des hochgeladenen Werks).
Schreib doch das ganze einfach ohne Aufgabenzettel oder schneide ihn weg, wenn du ihn draufgeklebt hat oder decke ihn zu, etc. Dann nochmal einscannen, dann ist es kein Problem.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 So 25.05.2014 | | Autor: | jayw |
Okay, danke, erledigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 So 25.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Okay, danke, erledigt.
Ok: auch danke, auch erledigt. 
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} p(x)=\bruch{2k+1}{k^2(k+1)^2} x^k[/mm]
> und
> [mm]p(1) [/mm].
> Schaut euch bitte mal im Anhang meine Rechnung an,
> ich glaube ich habe das noch nicht richtig verstanden,
Ja, so siohet das aus.
bzw.
> weiß ich nicht was ich damit nun anfangen soll.
Dein erster Fehler ist, dass die [mm] x^k [/mm] in deiner Rechnung nichts zu suchen haben. Der zweite Fehler ist dieses völlig unmotivierte '<1'
- bevor überhupt irgendetwas gerechnet ist
- vor dem Hintergrund, dass dies hier überhaupt nicht interessiert
- vor dem Hintergrund, dass es falsch ist.
Dich interessiert
[mm] r=\lim_{k\to\infty}\left|\bruch{\bruch{2k+1}{k^2*(k+1)^2}}{\bruch{2k+3}{(k+1)^2*(k+2)^2}}\right|
[/mm]
Das musst du halt einfach ausrechnen.
Und mal eine Bitte: diese eingescannten Handrechnungen sind zwar in deinem Fall wirklich gut lesbar, da schön geschrieben. Aber für die Diskussion in einem Forum ist das völlig kontraproduktiv, da man als Antwortgeber nicht zitieren kann. Du wirfst also - mal etwas plakativ gesprochen - damit deinen Helfern Knüppel zwischen die Beine.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 25.05.2014 | | Autor: | jayw |
> Hallo,
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> > Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
> > [mm]\sum_{k=1}^{\infty} p(x)=\bruch{2k+1}{k^2(k+1)^2} x^k[/mm]
> >
> und
> > [mm]p(1) [/mm].
> > Schaut euch bitte mal im Anhang meine Rechnung
> an,
> > ich glaube ich habe das noch nicht richtig verstanden,
>
> Ja, so siohet das aus.
>
> bzw.
> > weiß ich nicht was ich damit nun anfangen soll.
>
> Dein erster Fehler ist, dass die [mm]x^k[/mm] in deiner Rechnung
> nichts zu suchen haben.
Wie kann ich denn [mm] x^k [/mm] weglassen wenn der Grenzwert mit k-> [mm] \infty [/mm] gesucht ist?
> Der zweite Fehler ist dieses
> völlig unmotivierte '<1'
Das ist doch die Bedingung beim Quotientenkriterium, dass die gegebene Reihe konvergiert? Oder meinst du das es hier nicht interessiert, da wenn die Bedingung für den Konvergenzradius erfüllt ist, das ja eh automatisch gezeigt wurde? :)
> - bevor überhupt irgendetwas gerechnet ist
> - vor dem Hintergrund, dass dies hier überhaupt nicht
> interessiert
> - vor dem Hintergrund, dass es falsch ist.
>
> Dich interessiert
>
> [mm]r=\lim_{k\to\infty}\left|\bruch{\bruch{2k+1}{k^2*(k+1)^2}}{\bruch{2k+3}{(k+1)^2*(k+2)^2}}\right|[/mm]
> Das musst du halt einfach ausrechnen.
Naja, ohne das x ist das ja einfach, d.h. der Konvergenzradius ist einfach 1?
> Und mal eine Bitte: diese eingescannten Handrechnungen sind
> zwar in deinem Fall wirklich gut lesbar, da schön
> geschrieben. Aber für die Diskussion in einem Forum ist
> das völlig kontraproduktiv, da man als Antwortgeber nicht
> zitieren kann. Du wirfst also - mal etwas plakativ
> gesprochen - damit deinen Helfern Knüppel zwischen die
> Beine.
Okay, ich nutze ein Surface Pro zum schreiben, so dass das einscannen entfällt und dann geht das schön schnell :), ich werde diese Möglichkeit dann aber zukünftig nur noch für sehr lange Rechnungen nehmen.
Danke!
> Gruß, Diophant
Noch eine Frage: Ist mit dem "und p(1)" aus der Aufgabenstellung einfach nur gemeint, dass ich die Reihe für x=1 ausrechnen soll?? Das wäre dann ja auch nur 1?
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Hallo,
> Das ist doch die Bedingung beim Quotientenkriterium, dass
> die gegebene Reihe konvergiert? Oder meinst du das es hier
> nicht interessiert, da wenn die Bedingung für den
> Konvergenzradius erfüllt ist, das ja eh automatisch
> gezeigt wurde? :)
Du bist hier ziemlich auf dem falschen Dampfer. Das hat hier zwar mit dem Quotientnekriterium zu tun, aber man macht doch hier etwas völlig anderes. Steht denn in deinen Unterlagen bei der Berechnung des Konvergenzradius irgendwo x mit drin?
>
> > - bevor überhupt irgendetwas gerechnet ist
> > - vor dem Hintergrund, dass dies hier überhaupt nicht
> > interessiert
> > - vor dem Hintergrund, dass es falsch ist.
> >
> > Dich interessiert
> >
> >
> [mm]r=\lim_{k\to\infty}\left|\bruch{\bruch{2k+1}{k^2*(k+1)^2}}{\bruch{2k+3}{(k+1)^2*(k+2)^2}}\right|[/mm]
>
> > Das musst du halt einfach ausrechnen.
>
> Naja, ohne das x ist das ja einfach, d.h. der
> Konvergenzradius ist einfach 1?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Und mal eine Bitte: diese eingescannten Handrechnungen sind
> > zwar in deinem Fall wirklich gut lesbar, da schön
> > geschrieben. Aber für die Diskussion in einem Forum ist
> > das völlig kontraproduktiv, da man als Antwortgeber nicht
> > zitieren kann. Du wirfst also - mal etwas plakativ
> > gesprochen - damit deinen Helfern Knüppel zwischen die
> > Beine.
> Okay, ich nutze ein Surface Pro zum schreiben, so dass das
> einscannen entfällt und dann geht das schön schnell :),
> ich werde diese Möglichkeit dann aber zukünftig nur noch
> für sehr lange Rechnungen nehmen.
Gerade in diesem Fall ist das besonders ungeeignet. Gerade sehr lange Rechnungen sollte man unbedingt eintippen um den Helfern zu ermöglichen, einzelne Stellen zu zitieren. Du hast es nicht verstanden, worum es geht, oder???
> Noch eine Frage: Ist mit dem "und p(1)" aus der
> Aufgabenstellung einfach nur gemeint, dass ich die Reihe
> für x=1 ausrechnen soll?? Das wäre dann ja auch nur 1?
Nein. So einfach ist das nicht. Wenn eine um x=0 entwickelte Potenzreiehe den Konvergenzradius r=1 besitzt, dann heißt das zunächst einmal, dass die Reihe für |x|<1 konvergiert. An den Stellen x=1 und x=-1 muss man das gesondert untersuchen, und das ist hier zu tun. Wie du hier auf das Resultat 1 kommst, ist völlig schleierhaft, auch wenn es in der Tat richtig ist.
Eine konstruktive Vorgehensweise besteht u.a. darin, dass sowohl Fragende als auch Helfer ihre Ansätze, Gedanken und Rechnungen möglichst in der gebotenen Ausführlichkeit präsentieren. Dann weiß man, worüber man spricht. So aber kann man zu deiner Behauptung p(1)=1 nur sagen: falsch richtig, jedoch in dieser Form wertlos. Und man kann vor dem heimischen PC sitzen und den Kopf schütteln...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 So 25.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> So aber kann man zu deiner Behauptung p(1)=1 nur sagen: falsch
was sich auf die Anzahl "0" der Punkte bezieht, die man für die eingereichte Lösung erhält, wobei die Begründung für diese "0" der fehlende Rechenweg, nicht das numerische Ergebnis ist.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 So 25.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> > So aber kann man zu deiner Behauptung p(1)=1 nur sagen:
> falsch
>
> was sich auf die Anzahl "0" der Punkte bezieht, die man
> für die eingereichte Lösung erhält, wobei die
> Begründung für diese "0" der fehlende Rechenweg, nicht
> das numerische Ergebnis ist.
oh ja: ich hatte mein Teleskop verlegt, jetzt habe ich es auch gesehen. Ich werde meinen Beitrag oben mal noch dahingehend nachbessern.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 So 25.05.2014 | | Autor: | jayw |
> Hallo,
>
> > Das ist doch die Bedingung beim Quotientenkriterium, dass
> > die gegebene Reihe konvergiert? Oder meinst du das es
> hier
> > nicht interessiert, da wenn die Bedingung für den
> > Konvergenzradius erfüllt ist, das ja eh automatisch
> > gezeigt wurde? :)
>
> Du bist hier ziemlich auf dem falschen Dampfer. Das hat
> hier zwar mit dem Quotientnekriterium zu tun, aber man
> macht doch hier etwas völlig anderes. Steht denn in deinen
> Unterlagen bei der Berechnung des Konvergenzradius irgendwo
> x mit drin?
Der Teil ist leider sehr schmal und allgemein gehalten. Ohne Beispiel tue ich mich manchmal schwer diese mathematische Theorie zu verstehen. Schaue mir dazu aber jetzt nochmal ein Video an.
> > > - bevor überhupt irgendetwas gerechnet ist
> > > - vor dem Hintergrund, dass dies hier überhaupt
> nicht
> > > interessiert
> > > - vor dem Hintergrund, dass es falsch ist.
> > >
> > > Dich interessiert
> > >
> > >
> >
> [mm]r=\lim_{k\to\infty}\left|\bruch{\bruch{2k+1}{k^2*(k+1)^2}}{\bruch{2k+3}{(k+1)^2*(k+2)^2}}\right|[/mm]
> >
> > > Das musst du halt einfach ausrechnen.
> >
> > Naja, ohne das x ist das ja einfach, d.h. der
> > Konvergenzradius ist einfach 1?
>
> Ja.
>
> >
> > > Und mal eine Bitte: diese eingescannten Handrechnungen
> sind
> > > zwar in deinem Fall wirklich gut lesbar, da schön
> > > geschrieben. Aber für die Diskussion in einem Forum
> ist
> > > das völlig kontraproduktiv, da man als Antwortgeber
> nicht
> > > zitieren kann. Du wirfst also - mal etwas plakativ
> > > gesprochen - damit deinen Helfern Knüppel zwischen
> die
> > > Beine.
> > Okay, ich nutze ein Surface Pro zum schreiben, so dass
> das
> > einscannen entfällt und dann geht das schön schnell
> :),
> > ich werde diese Möglichkeit dann aber zukünftig nur
> noch
> > für sehr lange Rechnungen nehmen.
>
> Gerade in diesem Fall ist das besonders ungeeignet. Gerade
> sehr lange Rechnungen sollte man unbedingt eintippen um den
> Helfern zu ermöglichen, einzelne Stellen zu zitieren. Du
> hast es nicht verstanden, worum es geht, oder???
Ich denke es kommt immer darauf an, was man will. Wenn ich detaillierte Hilfe möchte, dann stelle ich auch detaillierte Fragen und Rechenschritte.
> > Noch eine Frage: Ist mit dem "und p(1)" aus der
> > Aufgabenstellung einfach nur gemeint, dass ich die
> Reihe
> > für x=1 ausrechnen soll?? Das wäre dann ja auch nur
> 1?
>
> Nein. So einfach ist das nicht. Wenn eine um x=0
> entwickelte Potenzreiehe den Konvergenzradius r=1 besitzt,
> dann heißt das zunächst einmal, dass die Reihe für |x|<1
> konvergiert. An den Stellen x=1 und x=-1 muss man das
> gesondert untersuchen, und das ist hier zu tun. Wie du hier
> auf das Resultat 1 kommst, ist völlig schleierhaft.
>
> Eine konstruktive Vorgehensweise besteht u.a. darin, dass
> sowohl Fragende als auch Helfer ihre Ansätze, Gedanken und
> Rechnungen möglichst in der gebotenen Ausführlichkeit
> präsentieren. Dann weiß man, worüber man spricht. So
> aber kann man zu deiner Behauptung p(1)=1 nur sagen:
> falsch, und man kann vor dem heimischen PC sitzen und den
> Kopf schütteln...
Wenn mir die Aussage "das ist falsch, weil.." zunächst ausreicht, dann ist nach meiner Ansicht auch keine weitere Erläuterung notwendig.
Bis hierher hast du mir schon sehr geholfen, vielen Dank erstmal!
> Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 25.05.2014 | | Autor: | jayw |
> > Noch eine Frage: Ist mit dem "und p(1)" aus der
> > Aufgabenstellung einfach nur gemeint, dass ich die
> Reihe
> > für x=1 ausrechnen soll?? Das wäre dann ja auch nur
> 1?
>
> Nein. So einfach ist das nicht. Wenn eine um x=0
> entwickelte Potenzreiehe den Konvergenzradius r=1 besitzt,
> dann heißt das zunächst einmal, dass die Reihe für |x|<1
> konvergiert. An den Stellen x=1 und x=-1 muss man das
> gesondert untersuchen, und das ist hier zu tun. Wie du hier
> auf das Resultat 1 kommst, ist völlig schleierhaft.
Nachdem ich mir aufgrund deiner Ausführungen noch ein paar Gedanken gemacht habe, nun (hoffentlich) die Lösung:
Ich habe bereits festgestellt, dass die um [mm] x_0=0 [/mm] entwickelte Potenzreihe im Intervall (-1;1) konvergiert. Nun muss ich laut Aufgabenstellung noch den Randpunkt x=1 untersuchen:
Wenn ich mir die Reihe für x=1 mal aufschreibe,
[mm] p(1)=\bruch{3}{4}+\bruch{5}{36}+\bruch{7}{144}+\bruch{9}{400}+\bruch{11}{900}+...
[/mm]
sehe ich, dass sich das ganze immer weiter 1 annähert. (Deswegen die Antwort p(1)=1 vorhin).
Da dies wohl keine ausreichende mathematische Begründung ist, nutze ich das Vergleichskriterium mit der als konvergent bekannten Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}:
[/mm]
[mm] \begin{vmatrix}
\bruch{2k+1}{k^2(k+1)^2}
\end{vmatrix} \le \bruch{1}{k^2}
[/mm]
und erhalte:
[mm] \bruch{k^2}{(k+1)^2} \ge [/mm] 0
Daraus folgt: Die Reihe konvergiert auf dem Randpunkt x=1 für alle k.
Ist das korrekt?
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Hallo,
> Nachdem ich mir aufgrund deiner Ausführungen noch ein
> paar Gedanken gemacht habe, nun (hoffentlich) die Lösung:
>
> Ich habe bereits festgestellt, dass die um [mm]x_0=0[/mm]
> entwickelte Potenzreihe im Intervall (-1;1) konvergiert.
> Nun muss ich laut Aufgabenstellung noch den Randpunkt x=1
> untersuchen:
>
> Wenn ich mir die Reihe für x=1 mal aufschreibe,
>
> [mm]p(1)=\bruch{3}{4}+\bruch{5}{36}+\bruch{7}{144}+\bruch{9}{400}+\bruch{11}{900}+...[/mm]
>
> sehe ich, dass sich das ganze immer weiter 1 annähert.
> (Deswegen die Antwort p(1)=1 vorhin).
> Da dies wohl keine ausreichende mathematische Begründung
> ist, nutze ich das Vergleichskriterium mit der als
> konvergent bekannten Reihe [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}:[/mm]
>
> [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{2k+1}{k^2(k+1)^2}
\end{vmatrix} \le \bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> und erhalte:
> [mm]\bruch{k^2}{(k+1)^2} \ge[/mm] 0
> Daraus folgt: Die Reihe konvergiert auf dem Randpunkt x=1
> für alle k.
>
> Ist das korrekt?
Nein, für mich ist das ehrlich gesagt wirres Zeug, wo ich noch nicht einmal nachvollziehen kann, was du da eigentlich vorhast.
Ich habe vorhin auf die Korrektur meines Beitrags durch Sax eine Mitteilung geschrieben, in welcher der Hinweis darauf, was hier zu tun ist, eigentlich schon drinsteht.
Führe eine Partialbruchzerlegung des Koeffizienten [mm]a_k[/mm] durch, dann erkennst du, dass es sich um eine Teleskopsumme handelt und kannst die Herleitung des Reihengrenzwerts für x=1 sauber hinschreiben.
Und ich kann es mir nicht verkneifen: die Tatsache, dass du offensichtlich u.a. per Video Mathe lernst, die hängt für mich direkt damit zusammen, dass du mit dieser doch recht simplen Aufgabe arge Problem hast. Wie wäre es denn mit einem anständigen ![[]](/images/popup.gif) Lehrbuch?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 25.05.2014 | | Autor: | jayw |
Deine korrigierte Antwort habe ich leider zu spät gelesen.
> > Daraus folgt: Die Reihe konvergiert auf dem Randpunkt
> x=1
> > für alle k.
> >
> > Ist das korrekt?
>
> Nein, für mich ist das ehrlich gesagt wirres Zeug, wo ich
> noch nicht einmal nachvollziehen kann, was du da eigentlich
> vorhast.
>
> Ich habe vorhin auf die Korrektur meines Beitrags eine
> Mitteilung
> geschrieben, in welcher der Hinweis darauf, was hier zu tun
> ist, eigentlich schon drinsteht.
>
> Führe eine Partialbruchzerlegung des Koeffizienten [mm]a_k[/mm]
> durch, dann erkennst du, dass es sich um eine Teleskopsumme
> handelt und kannst die Herleitung des
> Reihengrenzwerts für x=1 sauber hinschreiben.
a) Warum darf ich das Vergleichskriterium (Majorantenkriterium) hier nicht anwenden? Wenn ich eine als konvergente Reihe kenne, und die zu untersuchende Reihe in jedem Glied kleiner ist, muss sie doch ebenfalls konvergieren.
b) Partialbruchzerlegung führt zu:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{k^2}-\bruch{1}{(k+1)^2}\right)
[/mm]
Diese würde ich jetzt mit Quotientenkriterium untersuchen.
> Und ich kann es mir nicht verkneifen: die Tatsache, dass du
> offensichtlich u.a. per Video Mathe lernst, die hängt für
> mich direkt damit zusammen, dass du mit dieser doch recht
> simplen Aufgabe arge Problem hast. Wie wäre es denn mit
> einem anständigen
> Lehrbuch?
Es gibt heutzutage einige Professoren die ihre Vorlesungen online stellen, z.b. auf http://www.j3l7h.de/ ein Professor der FH Bielefeld, daher denke ich, das dies schon ein Lernmittel sein kann. Bücher habe ich von Papula, hat mir hier aber leider nicht weitergeholfen, da hier nur ein einfaches Beispiel mit einer harmonischen Reihe behandelt wird.
> Gruß, Diophant
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Hallo,
> a) Warum darf ich das Vergleichskriterium
> (Majorantenkriterium) hier nicht anwenden?
Es bringt dir doch nichts: im Themenstart steht explizit p(1), also geht es um den Reihengrenzwert, da ist es ja schön, wenn man um die Konvergenz weiß, aber sehr viel weiter ist man damit nicht.
> b) Partialbruchzerlegung führt zu:
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{k^2}-\bruch{1}{(k+1)^2}\right)[/mm]
>
Das stimmt so.
> Diese würde ich jetzt mit Quotientenkriterium untersuchen.
Und wozu soll das gut sein? Schreibe einmal die ersten paar Reihenglieder auf, dann siehst du, was man mit einer Teleskopsumme meint. Falls nicht, dann schlage den Begriff nach!
> > Und ich kann es mir nicht verkneifen: die Tatsache, dass du
> > offensichtlich u.a. per Video Mathe lernst, die hängt für
> > mich direkt damit zusammen, dass du mit dieser doch recht
> > simplen Aufgabe arge Problem hast. Wie wäre es denn mit
> > einem anständigen
> >
> Lehrbuch?
>
> Es gibt heutzutage einige Professoren die ihre Vorlesungen
> online stellen, z.b. auf http://www.j3l7h.de/ ein Professor
> der FH Bielefeld, daher denke ich, das dies schon ein
> Lernmittel sein kann. Bücher habe ich von Papula, hat mir
> hier aber leider nicht weitergeholfen, da hier nur ein
> einfaches Beispiel mit einer harmonischen Reihe behandelt
> wird.
Der Papula ist für solche Analysis-1-Vorlesungen auch nicht gedacht. Daher haben ich dir einen Link zu einem entsprechenden Lehrbuch gegeben. Generell sollte man zu einer solchen Vorlesung eine entsprechende Literatur besitzen, die Vorlesung alleine reicht nicht aus (und ist auch nicht so gedacht)...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 So 25.05.2014 | | Autor: | jayw |
> Das stimmt so.
>
> > Diese würde ich jetzt mit Quotientenkriterium
> untersuchen.
>
> Und wozu soll das gut sein? Schreibe einmal die ersten paar
> Reihenglieder auf, dann siehst du, was man mit einer
> Teleskopsumme meint. Falls nicht, dann schlage den Begriff
> nach!
Alles klar, danke, es bleibt nur noch 1 übrig, da alle folgenden Glieder die vorherigen immer wieder aufheben.
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