Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mi 30.01.2008 | | Autor: | plan.b |
| Aufgabe | Entscheiden Sie für jeden reellen Wert x, ob die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( sin(1/n²) + cos(1/n) - 1) [mm] x^{n}
[/mm]
absolut konvergiert, konvergiert oder divergiert
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
habe [mm] a_{n} [/mm] = sin(1/n²) + cos(1/n) - 1 gesetzt und mit HADAMARD weitergemacht, aber bekomme [mm] \bruch{0}{0} [/mm] raus. Damit kann ich nichts anfangen, oder?!
Soll ich beim Ansatz [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] die Summanden umformen, etwa
sin(1/n²) = [mm] \bruch{1}{2i}(e^{\bruch{i}{n^{2}}}-e^{\bruch{-i}{n^{2}}})
[/mm]
bzw cos(1/n) = [mm] \bruch{1}{2}(e^{\bruch{i}{n}}+e^{\bruch{-i}{n}}) [/mm] ?
Habe schon damit rumgespielt, aber hat nicht gefruchtet.
Gibt es andere Methoden den Konvergenzradius zu bestimmen?
Wäre für einen Tip sehr dankbar.
Viele Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 30.01.2008 | | Autor: | plan.b |
hatte ich vergessen:
die originale Aufgabenstellung ist hier zu finden, es ist die Aufgabe 2:
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/mathlife/teaching/ws0708/analysis/problems13.pdf
habe folgende Umformung durchegührt: [mm] -sin^{2}(x/n)-cos^{2}(x/n) [/mm] = -1
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Betrachte die Potenzreihen von [mm]\sin \left( t^2 \right)[/mm] und [mm]\cos t[/mm] um [mm]0[/mm] (die ersten paar Glieder genügen) und folgere für ein vorgegebenes [mm]0 < \varepsilon < 1[/mm] die Beziehung
[mm]\frac{1}{2} \, t^2 \cdot (1 - \varepsilon) \leq \sin \left( t^2 \right) + \cos t - 1 \leq \frac{1}{2} \, t^2 \cdot (1 + \varepsilon)[/mm] für alle hinreichend kleinen [mm]|t|[/mm]
Du kannst dir ein konkretes [mm]\varepsilon[/mm] vorgeben, z.B. [mm]\varepsilon = \frac{1}{2}[/mm]. Speziell mit [mm]t = \frac{1}{n}[/mm] folgt dann:
[mm]\frac{1}{4n^2} \leq a_n \leq \frac{3}{4n^2}[/mm] für fast alle [mm]n[/mm]
Damit kannst du die Reihe der Beträge nach Weglassen endlich vieler Anfangsglieder nach oben bzw. unten abschätzen. Unterscheide die Fälle [mm]|x| > 1[/mm] und [mm]|x| \leq 1[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 30.01.2008 | | Autor: | plan.b |
Besten Dank erstmal für die Antowrt!
Ich verstehe allerdings dabei nicht wie du auf
[mm] \frac{1}{2} \, t^2 \cdot [/mm] (1 - [mm] \varepsilon) \leq \sin \left( t^2 \right) [/mm] + [mm] \cos [/mm] t - 1 [mm] \leq \frac{1}{2} \, t^2 \cdot [/mm] (1 + [mm] \varepsilon)
[/mm]
kommst, also wie du das folgerst.
Dieser Ansatz sagt mir doch nur (verstehe ich jedenfalls so), dass ich im Intervall [mm] [x-\varepsilon, x+\varepsilon] [/mm] durch die Reihe approximiere. Aber nicht wie der Konvergenzradius ist.
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Für beliebige reelle [mm]t[/mm] gilt:
[mm]\sin \left( t^2 \right) = t^2 - \frac{1}{6} \, t^6 \pm \ldots[/mm] (in Sinusreihe [mm]t[/mm] durch [mm]t^2[/mm] substituieren)
[mm]\cos t = 1 - \frac{1}{2} \, t^2 + \frac{1}{24} \, t^4 \pm \ldots[/mm]
Es folgt:
[mm]\sin \left( t^2 \right) + \cos t - 1 = \frac{1}{2} \, t^2 + \frac{1}{24} \, t^4 + \ldots = \frac{1}{2} \, t^2 g(t)[/mm] mit [mm]g(t) = 1 + \frac{1}{12} t^2 \pm \ldots[/mm]
[mm]g[/mm] ist durch eine überall konvergente Potenzreihe definiert, also stetig. Wegen [mm]g(0) = 1[/mm] liegen die Funktionswerte [mm]g(t)[/mm] in einer vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von 1, wenn nur [mm]t[/mm] hinreichend nahe bei 0 liegt. Speziell für [mm]\varepsilon = \frac{1}{2}[/mm] heißt das:
[mm]\frac{1}{2} \leq g(t) \leq \frac{3}{2}[/mm], falls nur [mm]t[/mm] hinreichend nahe bei 0 ist
Zusammen mit Obigem folgt:
[mm]\frac{1}{2} \, t^2 \cdot \frac{1}{2} \leq \sin \left( t^2 \right) + \cos t - 1 \leq \frac{1}{2} \, t^2 \cdot \frac{3}{2}[/mm] für alle hinreichend kleinen [mm]|t|[/mm]
Ist nun [mm]n[/mm] genügend groß, sagen wir [mm]n \geq n_0[/mm], so ist [mm]t = \frac{1}{n}[/mm] genügend klein. Daher gilt:
[mm]\frac{1}{4n^2} \leq a_n = \sin \frac{1}{n^2} + \cos \frac{1}{n} - 1 \leq \frac{3}{4n^2}[/mm] für [mm]n \geq n_0[/mm]
Jetzt nehmen wir reelle [mm]x[/mm] mit [mm]|x| \leq 1[/mm]. Da es bei Konvergenzfragen auf endlich viele Anfangsglieder einer Reihe nicht ankommt, betrachten wir nach Übergang zu den Beträgen die vorgegebene Reihe für [mm]n \geq n_0[/mm] und schätzen ab:
[mm]\sum_{n = n_0}^{\infty} a_n |x|^n \leq \frac{3}{4} \sum_{n = n_0}^{\infty} \frac{1}{n^2} |x|^n \leq \frac{3}{4} \sum_{n = n_0}^{\infty} \frac{1}{n^2} < \infty[/mm]
Nach dem Vergleichskriterium konvergiert also [mm]\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n[/mm] absolut mindestens für [mm]|x| \leq 1[/mm]. Für [mm]|x| > 1[/mm] dagegen bilden die Glieder der Reihe nicht einmal mehr eine Nullfolge. Warum? Und was folgt daraus? Was heißt das insgesamt?
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