Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Für welche Werte von x konvergieren die Potenzreihen
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k} [/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k^2} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe folgenden Vorschlag für die Lösung der Aufgabe:
Gesucht ist meines Erachtens der Konvergenzradius r der Potenzreihe.
Dieser wird berechnet durch r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}| \bruch{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
Bei a) ist [mm] a_n=\bruch{1}{n} [/mm] und es ergibt sich für r = 1. Daher ist die Potenzreihe konvergent für -1 < x < 1.
Bei b) ist [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] und es ergibt sich mit [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^2}{n^2} [/mm] und durch Grenzwertbildung ergibt sich auch hier r = 1. Damit wäre die Potenzreihe auch konvergent für -1 < x <1.
Dieses Ergebnis leuchtet mir allerdings nicht ein, da ich dachte, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k^2} [/mm] (also für x = 1) auch konvergent wäre.
Vielen Dank für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: gegeben sei eine Potenzreihe
(*) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n
[/mm]
mit dem Konvergenzradius r>0 und r < [mm] \infty.
[/mm]
Dann hat man:
1. für x mit -r<x<r konvergiert die Potenzreihe (absolut)
2. für x mit x>r oder x<-r divergiert die Potenzreihe.
3. für x=r oder x=-r ist keine allgemeine Aussage möglich
Es gibt Potenzreihen, die in x=r und in x=-r divergieren. Bsp: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^n, [/mm] hier ist r=1.
Es gibt Potenzreihen, die in x=r und in x=-r konvergieren. Bsp: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n^2}x^n, [/mm] hier ist r=1.
Es gibt Potenzreihen, die in x=r konvergieren und in x=-r divergieren (oder umgekehrt). Hast Du ein Beispiel ?
FRED
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