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| Aufgabe | Die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} (z-z_{0})^n [/mm] in [mm] \IC [/mm] hat den Konvergenzradius R=2. Bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen, wobei k [mm] \varepsilon \IN [/mm] eine beliebige feste natürliche Zahl ist.
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a\vektor{k \\ n} (z-z_{0})^n [/mm] (Hier handelt es sich nicht um einen Vektor, sondern um a k über n. Ging leider nicht anders dazustellen)
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^{kn}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^n^2 [/mm] |
Hallo alle zusammen.
Ich bin ziemlich ratlos bei diesen Aufgaben, denn ich kenne Potenzreihen nur in der Form [mm] a_{n}x^n. [/mm] Mit denen komme ich auch gut zurecht. Aber hier hab ich keine Ahnung.
Kann mir jemand helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Do 12.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n} (z-z_{0})^n[/mm] in
> [mm]\IC[/mm] hat den Konvergenzradius R=2. Bestimme die
> Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen, wobei k
> [mm]\varepsilon \IN[/mm] eine beliebige feste natürliche Zahl ist.
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a\vektor{k \\ n} (z-z_{0})^n[/mm]
> (Hier handelt es sich nicht um einen Vektor, sondern um a k
> über n. Ging leider nicht anders dazustellen)
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^{kn}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^n^2[/mm]
> Hallo alle
> zusammen.
> Ich bin ziemlich ratlos bei diesen Aufgaben, denn ich
> kenne Potenzreihen nur in der Form [mm]a_{n}x^n.[/mm] Mit denen
> komme ich auch gut zurecht. Aber hier hab ich keine
> Ahnung.
(Ich verstehe nicht, was bei Teil a gemeint ist: ist das [mm] $a_{k \choose n}$ [/mm] (a mit Index ${k [mm] \choose [/mm] n}$) für ein festes k? Und bei Teil c soll es sicher [mm] $(z-z_{0})^{n^2}$ [/mm] heissen.)
Der Trick besteht darin, die Potenzreihe in die gewünschte Form umzuschreiben. Ich zeige dir zwei verschiedene Möglichkeiten am Beispiel b.
Hier besteht die Reihe aus den Gliedern
[mm] a_0 + a_1 (z-z_0)^k + a_2 (z-z_0)^{2k} + a_3 (z-z_0)^{3k} + \dots [/mm] .
1. Möglichkeit:
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Das ist eine Potenzreihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n(z-z_0)^n[/mm]
aber mit [mm] $b_0=a_0$, $b_k=a_1$, $b_{2k}=a_2$, $b_{3k}=a_3$, [/mm] usw,, wobei alle nicht genannten [mm] $b_n$ [/mm] Null sind.
Da so viele Koeffizienten Null sind, musst du das Kriterium von Cauchy-Hadamard benutzen:
[mm] \bruch{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{|b_n|} [/mm] .
Für den Limes superior spielen nur die von Null verschiedenen Koeffizienten eine Rolle, sodass du nur diejenigen übrigbleiben, für die n ein Vielfaches von k ist, also $n=k*m$:
[mm] \bruch{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{|b_n|} = \limsup_{m\to\infty} \wurzel[km]{|b_{km}|} [/mm]
[mm] = \limsup_{m\to\infty} \wurzel[km] {|b_{km}|} = \limsup_{m\to\infty} \wurzel[k]{\wurzel[m]{|b_{km}|}} = \wurzel[k]{\limsup_{m\to\infty}\wurzel[m]{|b_{km}|}}= \wurzel[k]{\limsup_{m\to\infty}\wurzel[m]{|a_m|}}[/mm],
und nach Voraussetzung ist
[mm] \bruch{1}{2} = \limsup_{m\to\infty}\wurzel[m]{|a_m|} [/mm] .
Also ist der Konvergenzradius [mm] $\wurzel[k]{2}$.
[/mm]
2. Möglichkeit:
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Ich setze $w:= [mm] (z-z_0)^k$ [/mm] .
Dann schreibe ich um:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^{kn} = \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} ((z-z_{0})^{k})^{n} = \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} w^n [/mm] .
Diese Potenzreihe konvergiert für
[mm] 2=R>|w|=|(z-z_0)^k|= |z-z_0|^k \gdw \wurzel[k]{R} > |z-z_0| [/mm].
Also ist der Konvergenzradius [mm] $\wurzel[k]{R}=\wurzel[k]{2}$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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