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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Konvergenzradius Potenzreihe
Konvergenzradius Potenzreihe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Do 12.01.2012
Autor: traumtaenzerin1984

Aufgabe
Die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} (z-z_{0})^n [/mm] in [mm] \IC [/mm] hat den Konvergenzradius R=2. Bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen, wobei k [mm] \varepsilon \IN [/mm] eine beliebige feste natürliche Zahl ist.

a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a\vektor{k \\ n} (z-z_{0})^n [/mm]    (Hier handelt es sich nicht um einen Vektor, sondern um a k über n. Ging leider nicht anders dazustellen)
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^{kn} [/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^n^2 [/mm]

Hallo alle zusammen.
Ich bin ziemlich ratlos bei diesen Aufgaben, denn ich kenne Potenzreihen nur in der Form [mm] a_{n}x^n. [/mm] Mit denen komme ich auch gut zurecht. Aber hier hab ich keine Ahnung.
Kann mir jemand helfen?
Danke!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Do 12.01.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Die Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n} (z-z_{0})^n[/mm] in
> [mm]\IC[/mm] hat den Konvergenzradius R=2. Bestimme die
> Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen, wobei k
> [mm]\varepsilon \IN[/mm] eine beliebige feste natürliche Zahl ist.
>  
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a\vektor{k \\ n} (z-z_{0})^n[/mm]    
> (Hier handelt es sich nicht um einen Vektor, sondern um a k
> über n. Ging leider nicht anders dazustellen)
>  b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^{kn}[/mm]
>  c)
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^n^2[/mm]
>  Hallo alle
> zusammen.
>  Ich bin ziemlich ratlos bei diesen Aufgaben, denn ich
> kenne Potenzreihen nur in der Form [mm]a_{n}x^n.[/mm] Mit denen
> komme ich auch gut zurecht. Aber hier hab ich keine
> Ahnung.

(Ich verstehe nicht, was bei Teil a gemeint ist: ist das [mm] $a_{k \choose n}$ [/mm] (a mit Index ${k [mm] \choose [/mm] n}$) für ein festes k? Und bei Teil c soll es sicher [mm] $(z-z_{0})^{n^2}$ [/mm] heissen.)

Der Trick besteht darin, die Potenzreihe in die gewünschte Form umzuschreiben. Ich zeige dir zwei verschiedene Möglichkeiten am Beispiel b.


Hier besteht die Reihe aus den Gliedern

[mm] a_0 + a_1 (z-z_0)^k + a_2 (z-z_0)^{2k} + a_3 (z-z_0)^{3k} + \dots [/mm] .

1. Möglichkeit:
---------------
Das ist eine Potenzreihe

[mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n(z-z_0)^n[/mm]

aber mit [mm] $b_0=a_0$, $b_k=a_1$, $b_{2k}=a_2$, $b_{3k}=a_3$, [/mm] usw,, wobei alle nicht genannten [mm] $b_n$ [/mm] Null sind.

Da so viele Koeffizienten Null sind, musst du das Kriterium von Cauchy-Hadamard benutzen:

[mm] \bruch{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{|b_n|} [/mm] .

Für den Limes superior spielen nur die von Null verschiedenen Koeffizienten eine Rolle, sodass du nur diejenigen übrigbleiben, für die n ein Vielfaches von k ist, also $n=k*m$:

[mm] \bruch{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{|b_n|} = \limsup_{m\to\infty} \wurzel[km]{|b_{km}|} [/mm]

[mm] = \limsup_{m\to\infty} \wurzel[km] {|b_{km}|} = \limsup_{m\to\infty} \wurzel[k]{\wurzel[m]{|b_{km}|}} = \wurzel[k]{\limsup_{m\to\infty}\wurzel[m]{|b_{km}|}}= \wurzel[k]{\limsup_{m\to\infty}\wurzel[m]{|a_m|}}[/mm],

und nach Voraussetzung ist

[mm] \bruch{1}{2} = \limsup_{m\to\infty}\wurzel[m]{|a_m|} [/mm] .

Also ist der Konvergenzradius [mm] $\wurzel[k]{2}$. [/mm]

2. Möglichkeit:
---------------
Ich setze $w:= [mm] (z-z_0)^k$ [/mm] .

Dann schreibe ich um:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} (z-z_{0})^{kn} = \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} ((z-z_{0})^{k})^{n} = \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} w^n [/mm] .

Diese Potenzreihe konvergiert für

[mm] 2=R>|w|=|(z-z_0)^k|= |z-z_0|^k \gdw \wurzel[k]{R} > |z-z_0| [/mm].

Also ist der Konvergenzradius [mm] $\wurzel[k]{R}=\wurzel[k]{2}$ [/mm] .

  Viele Grüße
    Rainer



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