Konvergenzradius berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 05.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}\cdot{}x^{n} [/mm] $ |
Hallo Leute,
ich versuche hier den Konvergenzradius zu bestimmen aber komme nicht ganz so gut voran.
Uns wurde beigebracht, dass man den Konvergenzradius durch folgendes erhält :
l= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
r=0 falls [mm] l=\infty
[/mm]
r= [mm] \infty [/mm] falls l=0
[mm] r=\bruch{1}{l} [/mm] falls [mm] l\in(0,\infty)
[/mm]
Wenn ich einsetze komme ich nach einer Zeit auf folgenden Ausdruck :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2}}{n}*(1+n)^{n}
[/mm]
Ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Entweder ich hab was falsch gemacht oder ich übersehe da etwas.
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Hallo alikho93,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihen.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(i-1)^{n+1}}{n^{n-1}}\cdot{}x^{n}[/mm]
>
Das soll wohl so lauten:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(\blue{n}-1)^{n+1}}{n^{n-1}}\cdot{}x^{n}[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich versuche hier den Konvergenzradius zu bestimmen aber
> komme nicht ganz so gut voran.
>
> Uns wurde beigebracht, dass man den Konvergenzradius durch
> folgendes erhält :
>
> l= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
>
> r=0 falls [mm]l=\infty[/mm]
>
> r= [mm]\infty[/mm] falls l=0
>
> [mm]r=\bruch{1}{l}[/mm] falls [mm]l\in(0,\infty)[/mm]
>
> Wenn ich einsetze komme ich nach einer Zeit auf folgenden
> Ausdruck :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2}}{n}*(1+n)^{n}[/mm]
>
Poste Deine Rechenschritte bis hierhin.
> Ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter. Entweder ich
> hab was falsch gemacht oder ich übersehe da etwas.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 05.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Nein die Aufgabe ist so, wie sie im Übungsblatt steht. Also mit einem i war es schon richtig!
[mm] |\bruch{(i-1)^{n+2}}{(n+1)^{n}}*\bruch{n^{n-1}}{(i-1)^{n+1}}|
[/mm]
gekürzt und mit n erweitert :
| [mm] (i-1)*\bruch{n^{n}}{n*(n+1)^{n}} [/mm] |
[mm] \gdw [/mm] | [mm] (i-1)*(\bruch{n}{n+1})^{n}*\bruch{1}{n}|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | [mm] \bruch{(i-1)}{n}|*|(1+n)^{n}|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | [mm] \bruch{|(i-1)|}{|n|}*|(1+n)^{n}|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | [mm] \bruch{\wurzel{2}}{|n|}*|(1+n)^{n}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Betragsstriche werden nicht mehr benötigt, da n>0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2}}{|n|}*|(1+n)^{n}
[/mm]
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Hallo alikho93,
> Nein die Aufgabe ist so, wie sie im Übungsblatt steht.
> Also mit einem i war es schon richtig!
>
> [mm]|\bruch{(i-1)^{n+2}}{(n+1)^{n}}*\bruch{n^{n-1}}{(i-1)^{n+1}}|[/mm]
>
Mit "i" ist hier also die imaginäre Einheit gemeint.
> gekürzt und mit n erweitert :
>
> | [mm](i-1)*\bruch{n^{n}}{n*(n+1)^{n}}[/mm] |
>
> [mm]\gdw[/mm] | [mm](i-1)*(\bruch{n}{n+1})^{n}*\bruch{1}{n}|[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] | [mm]\bruch{(i-1)}{n}|*|(1+n)^{n}|[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\gdw[/mm] | [mm]\bruch{(i-1)}{n}|*|\blue{(1+\bruch{1}{n})^{-n}}|[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] | [mm]\bruch{|(i-1)|}{|n|}*|(1+n)^{n}|[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] | [mm]\bruch{\wurzel{2}}{|n|}*|(1+n)^{n}|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Betragsstriche werden nicht mehr benötigt, da
> n>0
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{2}}{|n|}*|(1+n)^{n}[/mm]
>
Existieren die Grenzwerte beider Folgen,
so ist der Grenzwerte des Produktes dieser Folgen,
das Produkt der Grenzwerte der Folgen.
Gilt also:
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}| \bruch{(i-1)}{n}|=a[/mm]
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}|(1+\bruch{1}{n})^{-n}|=b[/mm]
Dann gilt
[mm]\limes_{n \rightarrow \infty}\bruch{(i-1)}{n}|*|\blue{(1+\bruch{1}{n})^{-n}}|=a*b[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 05.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
@DieAcht :
Danke dir für den Link. Habe aber eine Frage, kann ich selbst entscheiden ob ich [mm] \bruch{a_n}{a_(n+1)} [/mm] nehme oder [mm] \bruch{a_(n+1)}{a_n} [/mm] oder ist es festgelegt, welche ich verwenden muss?
@MathePower:
Danke. Habe es umgesetzt und folgendes raus :
$ [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}| \bruch{(i-1)}{n}| [/mm] = 0
$ [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}|(1+\bruch{1}{n})^{-n}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty}\bruch{(i-1)}{n}|\cdot{}|\blue{(1+\bruch{1}{n})^{-n}}| [/mm] = [mm] 0*\bruch{1}{e} [/mm] = 0 ?
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Hallo alikho93,
> @DieAcht :
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> Danke dir für den Link. Habe aber eine Frage, kann ich
> selbst entscheiden ob ich [mm]\bruch{a_n}{a_(n+1)}[/mm] nehme oder
> [mm]\bruch{a_(n+1)}{a_n}[/mm] oder ist es festgelegt, welche ich
> verwenden muss?
>
> @MathePower:
>
> Danke. Habe es umgesetzt und folgendes raus :
>
> $ [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}| \bruch{(i-1)}{n}|[/mm] = 0
>
> $ [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}|(1+\bruch{1}{n})^{-n}|[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n \rightarrow \infty}\bruch{(i-1)}{n}|\cdot{}|\blue{(1+\bruch{1}{n})^{-n}}|[/mm]
> = [mm]0*\bruch{1}{e}[/mm] = 0 ?
Ja, das hab ich auch raus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 05.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ich danke. Also folgt daraus, da l=0 ist, dass [mm] r=\infty [/mm] ist?
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Hallo alikho93.
> Ich danke. Also folgt daraus, da l=0 ist, dass [mm]r=\infty[/mm]
> ist?
So isses.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 05.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Schau mal hier.
Gruß
DieAcht
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