Konvergenzradius bestimmen. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Blabb |
| Aufgabe | | Bestimme den Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{2}x^{3n}}{2^{n}} [/mm] |
Hallo,
prinzipiell glaube ich zu wissen, wie man Konvergenzradien von Potenzreihen bestimmt, bloß besteht hier bei mir eine kleine Unsicherheit, da die Reihe sozusagen nicht in der "Standardform" [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} [/mm] ist, sondern dort [mm] x^{3n} [/mm] steht.
Ich hätte jetzt erst mal probiert, den Radius wieder ganz normal mit dem Wurzelkriterium herzuleiten. Also:
[mm] \wurzel[n]{|\bruch{n^{2}x^{3n}}{2^{n}}|} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{|x^{3n}|} \wurzel[n]{|\bruch{n^{2}}{2^{n}}|} [/mm] = [mm] |x|^{3} \bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2}
[/mm]
Und da der Grenzwert davon kleiner als 1 sein soll muss dann noch gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |x|^{3} \bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2} [/mm] < 1 [mm] \gdw |x|^{3} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2}} \gdw [/mm] |x| < [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2}}}
[/mm]
(Da sollte wohl lim sup stehen, aber ich hab es jetzt mal so geschrieben.)
Ist das denn in dem Fall so, also müsste man im Prinzip nur die normale Formel für den Konvergenzradius nehmen und dann noch so umstellen, dass wieder |x| da steht? Mich irritiert halt nur dieses [mm] x^{3n}, [/mm] denn wenn ich da die normale Formel benutzen würde, dann käme ich ja auf den Konvergenzradius von [mm] x^{n} [/mm] statt [mm] x^{3n}.
[/mm]
Vielleicht mache ich es mir auch nur zu schwer.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Blabb und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimme den Konvergenzradius der Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{2}x^{3n}}{2^{n}}[/mm]
> Hallo,
> prinzipiell glaube ich zu wissen, wie man Konvergenzradien
> von Potenzreihen bestimmt, bloß besteht hier bei mir eine
> kleine Unsicherheit, da die Reihe sozusagen nicht in der
> "Standardform" [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}[/mm] ist,
> sondern dort [mm]x^{3n}[/mm] steht.
>
> Ich hätte jetzt erst mal probiert, den Radius wieder ganz
> normal mit dem Wurzelkriterium herzuleiten.
Durchaus legitim, alternativ substituiere [mm] $y=x^3$ [/mm]
> Also:
>
> [mm]\wurzel[n]{|\bruch{n^{2}x^{3n}}{2^{n}}|}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{|x^{3n}|} \wurzel[n]{|\bruch{n^{2}}{2^{n}}|}[/mm] =
> [mm]|x|^{3} \bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Davon der [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}$ [/mm] ist [mm] $\frac{|x|^3}{2}$
[/mm]
>
> Und da der Grenzwert davon kleiner als 1 sein soll muss
> dann noch gelten:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |x|^{3} \bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2}[/mm]
> < 1 [mm]\gdw |x|^{3}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2}} \gdw[/mm]
> |x| <
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}^{2}}{2}}}[/mm]
>
> (Da sollte wohl lim sup stehen, aber ich hab es jetzt mal
> so geschrieben.)
>
> Ist das denn in dem Fall so, also müsste man im Prinzip
> nur die normale Formel für den Konvergenzradius nehmen und
> dann noch so umstellen, dass wieder |x| da steht? Mich
> irritiert halt nur dieses [mm]x^{3n},[/mm] denn wenn ich da die
> normale Formel benutzen würde, dann käme ich ja auf den
> Konvergenzradius von [mm]x^{n}[/mm] statt [mm]x^{3n}.[/mm]
>
> Vielleicht mache ich es mir auch nur zu schwer.
Ja, [mm] $\sqrt[n]{n}\longrightarrow [/mm] 1$ für [mm] $n\to\infty$, [/mm] also auch das Quadrat davon ...
Du hast also [mm] $\frac{|x|^3}{2}<1$ [/mm] zu lösen ...
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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