Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^2+1}{5^n}(x-1)^n [/mm] |
Guten Abend, ich habe hier mal einen Lösungsvorschlag und möchte wissen, ob dieser richtig ist? Es geht mir nämlich darum, ob ich die Potenzreihen verstanden habe...
Mein Lösungsvorschlag lautet:
nach Quotientenkriterium:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2+1)*5^n*5}{5^n*(n+1)^2+2}=\bruch{n^2(5+\bruch{5}{n})}{n^2(1+\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n}
)}=5
[/mm]
Also ist mein Konvergenzradius=5
Und nun die Randuntersuchung:
[mm] \bruch{n^2+1}{5^n}*(5)^n=n^2+1 \;\;\;\Rightarrow{}Divergenz
[/mm]
d.h die Potenzreihe konvergiert für [mm] \;|x-1|<5.
[/mm]
Ist das alles richtig so? Oder habe ich Fehler gemacht?
Danke fürs überprüfen.
Gruß Lzaman
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Hallo lzaman,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^2+1}{5^n}(x-1)^n[/mm]
> Guten Abend, ich habe hier mal einen Lösungsvorschlag und
> möchte wissen, ob dieser richtig ist? Es geht mir nämlich
> darum, ob ich die Potenzreihen verstanden habe...
>
> Mein Lösungsvorschlag lautet:
>
> nach Quotientenkriterium:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n^2+1)*5^n*5}{5^n*(n+1)^2+2}=\bruch{n^2(5+\bruch{5}{n})}{n^2(1+\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n}
)}=5[/mm]
>
> Also ist mein Konvergenzradius=5
>
> Und nun die Randuntersuchung:
>
> [mm]\bruch{n^2+1}{5^n}*(5)^n=n^2+1 \;\;\;\Rightarrow{}Divergenz[/mm]
>
> d.h die Potenzreihe konvergiert für [mm]\;|x-1|<5.[/mm]
Zunächst konvergiert die Potenzreihe für [mm]|x-1|<5.[/mm]
ohne Beachtung des Sonderfalls [mm]|x-1|=5.[/mm]
Daß die Potenzreihe dann im Fall x-1=5 divergiert,
ist nur ein Teil des Sonderfalls [mm]|x-1|=5[/mm],
Der andere Teil des Sonderfalls [mm]x-1=-5[/mm] ist noch zu untersuchen.
>
> Ist das alles richtig so? Oder habe ich Fehler gemacht?
Bis auf den zweiten Teil des Sonderfalls x-1=-5 ist alles richtig.
>
> Danke fürs überprüfen.
>
> Gruß Lzaman
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke, wie untersuche ich denn den 2. Fall? Etwa mit [mm] (n^{2}+1)*(-1)?
[/mm]
Dann: [mm] -n^2-1 \;\;\;\Rightarrow\;Divergenz
[/mm]
Nach meiner Lösung konvergiert die Reihe für [mm] \;-5<|x-1|<5.
[/mm]
Hab sonst keine Idee?
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Hallo Izaman,
> Danke, wie untersuche ich denn den 2. Fall? Etwa mit
> [mm](n^{2}+1)*(-1)?[/mm]
>
> Dann: [mm]-n^2-1 \;\;\;\Rightarrow\;Divergenz[/mm]
>
> Nach meiner Lösung konvergiert die Reihe für
> [mm]\;-5<|x-1|<5.[/mm]
Das soll doch so heißen: [mm]-5 \ < \ x-1 \ < \ 5[/mm]
> Hab sonst keine Idee?
Schreibe dazu die Reihe etwas um:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}*\left(n^2+1\right)=\left(-1)^{0}*\left(0^{2}+1\right)+\left(-1)^{1}*\left(1^{2}+1\right) + \ ...[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{2k}*\left(\left(2k\right)^2+1\right)+\left(-1\right)^{2k+1}*\left(\left(2k+1\right)^2+1\right)[/mm]
[mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\left(\left(2k\right)^2+1\right)-\left(\left(2k+1\right)^2+1\right)[/mm]
Berechne diese Differenz und weise nach daß diese Reihe divergiert-
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ich weiss nicht ob du es so meintest: Ich komme auf -4k-1 und das ist divergent.
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Hallo Izaman,
> Ich weiss nicht ob du es so meintest: Ich komme auf -4k-1
> und das ist divergent.
Genauso meinte ich es.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 26.07.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
>
>
> Schreibe dazu die Reihe etwas um:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}*\left(n^2+1\right)=\left(-1)^{0}*\left(0^{2}+1\right)+\left(-1)^{1}*\left(1^{2}+1\right) + \ ...[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{2k}*\left(\left(2k\right)^2+1\right)+\left(-1\right)^{2k+1}*\left(\left(2k+1\right)^2+1\right)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\left(\left(2k\right)^2+1\right)-\left(\left(2k+1\right)^2+1\right)[/mm]
>
> Berechne diese Differenz und weise nach daß diese Reihe
> divergiert-
>
Warum denn so umständlich, das simpelste Kriterium,dass es bei Reihen gibt, ist das Cauchy-Kriterium, worauf ich doch mal hier bei: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}*\left(n^2+1\right) [/mm] prüfen würde...
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:07 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> >
> >
> > Schreibe dazu die Reihe etwas um:
> >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}*\left(n^2+1\right)=\left(-1)^{0}*\left(0^{2}+1\right)+\left(-1)^{1}*\left(1^{2}+1\right) + \ ...[/mm]
>
> >
> >
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{2k}*\left(\left(2k\right)^2+1\right)+\left(-1\right)^{2k+1}*\left(\left(2k+1\right)^2+1\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\left(\left(2k\right)^2+1\right)-\left(\left(2k+1\right)^2+1\right)[/mm]
> >
> > Berechne diese Differenz und weise nach daß diese Reihe
> > divergiert-
> >
> Warum denn so umständlich, das simpelste Kriterium,dass es
> bei Reihen gibt, ist das Cauchy-Kriterium, worauf ich doch
> mal hier bei:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}*\left(n^2+1\right)[/mm]
> prüfen würde...
Cauchy-Kriterium ? Du meinst wohl das sogenannte "Trivialkriterium": [mm] \summe_{}^{}a_n [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow (a_n) [/mm] Nullfolge.
FRED
>
>
> Viele Grüße
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