Konvergenzradius einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Reihen:
Summe für n=0 bis unendlich [mm] a_n [/mm] z ^n mit an ist die Anzahl der Teiler von n, falls n >= 1 und ao:= 0
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Hallo,
ich habe ein kleines Problem.
Ich soll von der angegebenen Reihe den Konvergenzradius bestimmen.
Dazu habe ich mir ersteinmal überlegt, wie ich [mm] "a_n [/mm] " schreiben kann. Will man alle Teiler einer Zahl bestimmen, so kann man das ja systematisch über die Primfaktorzerlegung tun.
Also kann ich jede natürliche Zahl n so zerlegen:
n= [mm] p_1^ \alpha-1* p_2^ \alpha-2* [/mm] .... [mm] p_r^ \alpha-r
[/mm]
also
( [mm] \alpha-1 +1)(\alpha-2 [/mm] +1).....
So weit, so gut. Doch was nützt mir das bei der Bestimmung des Konvergenzradius?
Kann mir jemand einen Denkanstoß geben. Danke!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich denke, die grobe Abschätzung
[mm]1 \leq a_n \leq n[/mm] für [mm]n \geq 1[/mm]
genügt. Denn hieraus folgt:
[mm]1 \leq \sqrt[n]{a_n} \leq \sqrt[n]{n}[/mm]
und mit [mm]n \to \infty[/mm] folgt alles (Formel von Hadamard).
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Vielen Dank für die rasche Antwort.
Habe ich das nun richtig verstanden :
[mm] a_n [/mm] läuft gegen unendlich laut grober Abschätzung
[mm] z_n [/mm] läuft ebenfalls gegen unendlich
Also ist [mm] \vmat{ a_n z_n}>1 [/mm] und somit der Konvergenzradius 1.
Es wäre nett, wenn jemand das noch einmal überprüfen könnte.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Fr 30.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Vielen Dank für die rasche Antwort.
> Habe ich das nun richtig verstanden :
>
> [mm]a_n[/mm] läuft gegen unendlich laut grober Abschätzung
Nein, das stimmt nicht. Die Abschaetzung besagt nur: $1 [mm] \le a_n \le [/mm] n$ fuer jedes $n [mm] \in \IN$. [/mm] Und z.B. [mm] $a_n [/mm] = 2$ kommt unendlich oft vor (falls $n$ eine Primzahl ist, ist [mm] $a_n [/mm] = 2$).
> [mm]z_n[/mm] läuft ebenfalls gegen unendlich
Du meinst [mm] $z^n$ [/mm] und nicht [mm] $z_n$, [/mm] oder? Warum laeuft das gegen unendlich? Hat $z$ bei dir einen festen Wert?
> Also ist [mm]\vmat{ a_n z_n}>1[/mm] und somit der Konvergenzradius
> 1.
Der Konvergenzradius ist tatsaechlich 1, aber ich habe Probleme mit deiner Begruendung. Ich vermute mal, du meinst folgendes: Ist $|z| > 1$, so geht [mm] $|a_n z^n| \to \infty$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$, [/mm] womit die Reihe dann nicht konvergiert. Also ist der Konvergenzradius hoechstens 1. Meintest du das?
Und warum ist der Konvergenzradius genau 1? (Das folgt aus Leopolds Posting, hast du sein Argument verstanden?)
HTH & LG, Felix
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Hallo,
vielen Dank. Ich meinte es tatsächlich so, wie du es aufgefaßt hast. Nur habe ich es nicht so elegant ausgedrückt. Ich habe da immer noch meine Probleme. Aber auch darn übe ich. es kann nur besser werden.
Den Hinweis mit der Formel von Cauchy-Hadamard habe ich auch nicht verstanden. Ich kann leider für diese Aufgabe nicht [mm] a_n [/mm] und [mm] a_n+1 [/mm] bilden und dividieren. Hier steht die Formel genau. Ich kann sie hier leider nicht schreiben und auch nicht einfügen.
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathe.braunling.de/Funkreih.htm
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tommy!
Die aufgestellte Ungleichungskette von Leopold hast Du verstanden?
$1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ n$ [mm] $\gdw$ [/mm] $1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel[n]{a_n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel[n]{n}$
[/mm]
Was wird denn aus dieser Ungleichungskette, wenn Du hier den Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] bildest?
Oder andersherum: Wie lautet der Grenzwert für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}$ [/mm] ?
Und was bedeutet das dann für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}$ [/mm] ?
Und dann solltest Du für den Konvergenzradius diese Formel verwenden (siehe auch Deine eigene Quelle):
$r \ = \ [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \ a_n \ \right|^{\bruch{1}{n}}}$
[/mm]
Bedenke: [mm] $\wurzel[n]{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{n}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo,
vielen Dank.
> [mm]1 \ \le \ a_n \ \le \ n[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]1 \ \le \ \wurzel[n]{a_n} \ \le \ \wurzel[n]{n}[/mm]
> Oder andersherum: Wie lautet der Grenzwert für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n}[/mm] ?
Der Grenzwert ist 1.
>
> Und was bedeutet das dann für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}[/mm] ?
Kann wegen der Ungleichungskette auch nur 1 sein.
> [mm]r \ = \ \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \ a_n \ \right|^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
Das bedeutet dann , dass r= 1 ist.
Habe ich das jetzt verstanden?? Ich habe jedenfalls das Gefühl.
Und kann ich denn nun [mm] z^n [/mm] völlig unberücksichtigt sein lassen?
Gruß
Tommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Fr 30.12.2005 | | Autor: | tommy1234 |
Vielen Dank allen für die Hilfe!!!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
. Aber so ist die Begründung auf jeden Fall richtig.
