Konvergenzradius von Reihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mo 14.08.2006 | | Autor: | ron |
| Aufgabe | f(z)= [mm] \bruch{z}{e^z - 1} [/mm] mit f: [mm] \IC \rightarrow \IC
[/mm]
Frage: Welchen Konvergenzradius hat die Reihenentwicklung von f um 0?
f(z) = [mm] \summe_{k=0}^{ \infty } \bruch{B_k}{k!} z^k [/mm] |
Hallo an alle die dies lesen,
klar ist mir, dass in [mm] z_0 [/mm] = 0 eine hebbare Singularität von f vorliegt. Üblicherweise sollte dann die Reihe konvergieren auf [mm] K_{ \sigma} [/mm] (0) mit [mm] 0<|z-z_0|< \sigma
[/mm]
Unsicher bin ich mir, ob [mm] B_k [/mm] die Bernoullizahlen sind oder [mm] B_k [/mm] = [mm] a_k [/mm] := [mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{K_r (z_0)}^{ }{ \bruch{f(t)}{(t-z_0)^{k+1}}} [/mm] dt sind mit 0<r< [mm] \sigma [/mm] ?!
Aber selbst dann komme ich nicht wirklich sinnvoll weiter.
Wer kann mir einen Ansatz geben, habe die Frage noch nicht im Internet gestellt.
Gruß
Ron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mo 14.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo ron,
> f(z)= [mm]\bruch{z}{e^z - 1}[/mm] mit f: [mm]\IC \rightarrow \IC[/mm]
>
> Frage: Welchen Konvergenzradius hat die Reihenentwicklung
> von f um 0?
>
> f(z) = [mm]\summe_{k=0}^{ \infty } \bruch{B_k}{k!} z^k[/mm]
> Hallo
> an alle die dies lesen,
>
> klar ist mir, dass in [mm]z_0[/mm] = 0 eine hebbare Singularität von
> f vorliegt. Üblicherweise sollte dann die Reihe
> konvergieren auf [mm]K_{ \sigma}[/mm] (0) mit [mm]0<|z-z_0|< \sigma[/mm]
sogar mit $0 [mm] \le [/mm] |z - [mm] z_0| [/mm] = |z| < [mm] \sigma$. [/mm] Und [mm] $\sigma$ [/mm] ist der kleinste Abstand zu einer Polstelle oder einem sonstigen Punkt, auf dem die Funktion nicht holomorph fortgesetzt werden kann.
Ist halt die Frage ob ihr das schon hattet. Wenn ja, ist die Aufgabe recht einfach zu loesen... Andernfalls musst du halt rechnen.
(Falls ihr sowas hattet wie: Ist die Funktion auf [mm] $\overline{B_r(z_0)}$ [/mm] holomorph, so konvergiert die Potenzreihenentwicklung um [mm] $z_0$ [/mm] auf [mm] $B_r(z_0)$, [/mm] kannst du die Aussage damit selber beweisen! Wenn du $r$ vergroesserst, aendert sich was an den Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung? Wenn du ein beliebiges $z'$ nimmst so, dass es ein $r > 0$ gibt mit $z' [mm] \in B_r(z_0)$ [/mm] und so dass die Funktion auf [mm] $\overline{B_r(z_0)}$ [/mm] holomorph ist, was bedeutet das fuer die Potenzreihenentwicklung in [mm] $z_0$, [/mm] konvergiert sie in $z'$?)
> Unsicher bin ich mir, ob [mm]B_k[/mm] die Bernoullizahlen sind oder
> [mm]B_k[/mm] = [mm]a_k[/mm] := [mm]\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{K_r (z_0)}^{ }{ \bruch{f(t)}{(t-z_0)^{k+1}}}[/mm]
> dt sind mit 0<r< [mm]\sigma[/mm] ?!
Das zweite sicherlich. Eventuell gleichzeitig auch das erste.
Du kannst ja mal versuchen die Koeffizienten selber zu bestimmen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Di 15.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo felixf,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Deine Überlegungen decken sich auch mit meinen, die Theorie ist mir auch verständlich. Nur habe ich irgendwie bei Residuen und Singularitäten ein Brett vorm Kopf. Die ersten drei Koeffizienten habe ich über Bernoullikoeffizienten ausgerechnet,
[mm] B_0 [/mm] = 1
[mm] B_1 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] B_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
[mm] B_3 [/mm] = 0
Jetzt geht es darum ein konkretes r anzugeben! Da f(z) sonst überall holomorph ist wäre dann
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \infty [/mm] und r bel. Zahl < [mm] \infty [/mm] ?
Mit Konvergenzradien stehe ich schon bei reellen Reihen auf "Kriegsfuß" setzt sich in [mm] \IC [/mm] wohl fort. Naja nicht alle Bereiche in Mathe liegen einem gleich gut...
Hoffe du kannst mir einen Weg zeigen.
Denn einen weiteren Pol oder wesentliche Singularität besitzt die Funktion doch nicht, denn
0 = 0 + 0 i [mm] \not= [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] + i sin [mm] \alpha [/mm] somit greift nicht die Periozität der sin/cos Funktion. Oder ist da mein Fehler?
Hoffe du kannst mir nochmal helfen.
Gruß
Ron
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Di 15.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ron!
> vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Deine Überlegungen decken sich auch mit meinen, die
> Theorie ist mir auch verständlich. Nur habe ich irgendwie
> bei Residuen und Singularitäten ein Brett vorm Kopf. Die
> ersten drei Koeffizienten habe ich über
> Bernoullikoeffizienten ausgerechnet,
> [mm]B_0[/mm] = 1
> [mm]B_1[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]B_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> [mm]B_3[/mm] = 0
Die ersten drei nuetzen dir nichts, du brauchst das Verhalten von [mm] $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|B_n|}$.
[/mm]
Bist du dir denn sicher, das die Koeffizienten die Bernoullikoeffizienten sind?
> Jetzt geht es darum ein konkretes r anzugeben! Da f(z)
> sonst überall holomorph ist wäre dann
Das stimmt nicht, $f$ hat abzaehlbar viele Polstellen. Wenn [mm] $z_0$ [/mm] eine Loesung der Gleichung [mm] $\exp(z) [/mm] = c$ ist, dann ist [mm] $z_0 [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] i$ auch eine.
> Mit Konvergenzradien stehe ich schon bei reellen Reihen auf
> "Kriegsfuß" setzt sich in [mm]\IC[/mm] wohl fort. Naja nicht alle
> Bereiche in Mathe liegen einem gleich gut...
> Hoffe du kannst mir einen Weg zeigen.
> Denn einen weiteren Pol oder wesentliche Singularität
> besitzt die Funktion doch nicht, denn
> 0 = 0 + 0 i [mm]\not=[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] + i sin [mm]\alpha[/mm]
Das ist [mm] $\exp(i \alpha)$, [/mm] aber nicht [mm] $\exp(i \alpha) [/mm] - 1$... Zweiteres hat sehr wohl Nullstellen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Di 15.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo Felix,
zunächst bin ich mir in bezug auf [mm] B_k [/mm] gar nicht sicher, aber wonach schnapp ein Unwissender im Nebel, nach allem.....
Jetzt möchte ich mal deine Hilfestellungen mit meinem Irrungen zusammenfassen:
Nachdem es mit [mm] {z_0 +2 \pi i} [/mm] (folglich auch 2k [mm] \pi [/mm] i mit k [mm] \in \IZ [/mm] ) Singularitäten gibt, hattest du ja geschrieben:
sogar mit $ 0 [mm] \le [/mm] |z - [mm] z_0| [/mm] = |z| < [mm] \sigma [/mm] $. Und $ [mm] \sigma [/mm] $ ist der kleinste Abstand zu einer Polstelle oder einem sonstigen Punkt, auf dem die Funktion nicht holomorph fortgesetzt werden kann.
Braucht man nur den minimalen Abstand zwischen zwei Singularitäten nehmen. Dann wäre für mich anschaulich der Konvergenzradius 2 [mm] \pi [/mm] !
Oder mache ich wieder einen Fehler. Es ist | [mm] z_0 [/mm] - z| = |2 [mm] \pi [/mm] i| = [mm] \wurzel{{(2 \pi)}^2} [/mm] = 2 [mm] \pi
[/mm]
Habe mit so vielen Fehlern über dieser Aufgabe gebrütet, dass ich das Licht im Wald nicht mehr selbst erkennen kann, sorry. Möchte es aber gerne nachvollziehen können. Hut ab vor deiner Ausdauer mit mir.
Eine Muster-Lsg habe ich nicht zum Vergleich.
Gruß
Ron
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