Konvergenzsatz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei [mm] f_k [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch [mm] f_k [/mm] = [mm] e^{-k*x^2} [/mm] für k [mm] \in\IN
[/mm]
Zeigen sie: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{\IR}^{}{f_k (x) dx} [/mm] = 0 |
Hallo!
Ich sitze gerade an obiger Aufgabe (Ana 3) und bin jetzt soweit:
also der Grenzwert con [mm] f_k [/mm] ist ja gerade 0 und daraus muss ich auch irgendwie schließen, dass das Integral = 0 ist und ich denke ich muss da irgendwie mit einem Konvergenzsatz dran.
Ich weiß nur leider nicht mit welchen weil die Funktion ist aufjedenfall schonmal nicht monoton steigend und deshalb fallen die meisten ja schon aus.
was ist mit der majorisierten Konvergenz? geht das damit? bzw wie komm ich dann auf die majorante?
Danke schonmal für eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. [mm] (f_k) [/mm] konvergiert auf ganz [mm] \IR [/mm] punktweise gegen die Funktion [mm] $f\equiv [/mm] 0$
Edit: wie pelzig richtig bemerkt hat, ist [mm] f_k(0) [/mm] = 1 für jedes k. [mm] (f_k) [/mm] konvergiert also fast überall gegen 0
2. Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist : [mm] $e^{kx^2} \ge 1+kx^2 \ge 1+x^2$
[/mm]
3. Aus 2. folgt: [mm] $|f_k(x)| \le \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] für jedes x in [mm] \IR
[/mm]
4. Satz von der majorisierten Konvergenz
FRED
P.S. es geht auch ohne einen Konvrgenzsatz:
Es ist $0 [mm] \le f_k(x) \le \bruch{1}{1+kx^2}$. [/mm] Also:
$0 [mm] \le \integral_{\IR}^{}{f_k(x) dx} \le \integral_{\IR}^{}{\bruch{1}{1+kx^2} dx}= \bruch{\pi}{\wurzel{k}}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mo 15.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Ich wollte nur mal anmerken, dass [mm] $f_k(0)=1$ [/mm] ist für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] d.h. die Grenzfunktion ist nicht ganz die Nullfunktion. Nur für den Fall dass hier jemand an gleichmäßige Konvergenz gedacht hat... 
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich wollte nur mal anmerken, dass [mm]f_k(0)=1[/mm] ist für alle
> [mm]k\in\IN[/mm], d.h. die Grenzfunktion ist nicht ganz die
> Nullfunktion.
Upps, das hatte ich übersehehn. Trotzdem
$ [mm] (f_k) [/mm] $ konvergiert auf $ [mm] \IR [/mm] $ fast überall gegen die Funktion $ [mm] f\equiv [/mm] 0 $
FRED
> Nur für den Fall dass hier jemand an
> gleichmäßige Konvergenz gedacht hat...
>
> Gruß, Robert
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