Konvergenzverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mo 24.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hallo!
Habe da eine Frage zum Konvergenzverhalten von Folgen und Reihen.
Gegeben Sei folgender Term
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch {2^{(k+1)}+3^k}{6^{(k+1)}}
[/mm]
Da sich alles K's im Exponenten befinden, setze ich 2/6 [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} (2/6)^k [/mm] + (1/6) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} (3/6)^k
[/mm]
in die Formel [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] und erhalte [mm] \bruch{5}{6}
[/mm]
was sagt dieser Wert aus??? Habe ich damit bewiesen das der Term konvergiert, oder habe ich gar den Wert, wogegen er konvergiert bestimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mo 24.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
So wie deine Summe dasteht stimmt die Umformung nicht. Ich nehme mal an die Formel ist falsch und deine Umformung richtig. Dann ist deine Lösung richtig, einschleißlich Grenzwert. Dazu gehört aber der Beweis zur Konvergenz der geometrischen Reihe ausgeführt oder zitiert.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
ich habe die Formeln noch mit eineigen geschweiften Klammern versehen.
Ich hoffe, jetzt werde das auch so interpretiert, wie es gemeint war.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 24.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hallo Leduart!
Um ehrlich zu sein, kann ich dir nicht ganz folgen.
Wie meinst du das?
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Du hast hier eine Reihe der Form [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^n=\bruch{1}{1-q}-q^0[/mm] (wie man darauf kommt: später im Text), wenn [mm]|q|<1[/mm] ist. Somit stimmt diese Idee von dir.
Auch bei deinen ersten Umformungen konnte ich keinen Fehler finden, ich schreibe deine erste Umformung nochmal hin (aber gekürzt):
[mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch {2^{(k+1)}+3^k}{6^{(k+1)}}\ =\ \bruch{1}{3} \cdot \summe_{k=1}^{ \infty} (\bruch{1}{3})^k + \bruch{1}{6} \cdot \summe_{k=1}^{ \infty} (\bruch{1}{2})^k[/mm].
Darauf kannst du schon fast die Formel für die geometrische Reihe anwenden, allerdings musst du vorher noch dafür sorgen, dass deine Summen bei Null beginnen, und nicht bei Eins. Beispiel: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}{a_n}=(\summe_{n=0}^{\infty}{a_n}) - a_0[/mm].
Falls ich mich nicht verrechnet habe, sollte dein Reihenwert [mm]\bruch{1}{3}[/mm] sein.
Und damit, dass da für den Reihenwert eine konkrete Zahl dasteht, hast du natürlich auch gleichzeitig bewiesen, dass die Reihe konvergiert (was jede unendliche geometrische Reihe macht, wenn gilt [mm]|q|<1[/mm]).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Mi 26.01.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hi!
So gerade macht sich in meinem Gesicht ein Breites Grinsen, gefolgt von einem Aha breit.
Vielen Dank!
Jetzt habe ich es verstanden!
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