Konvergierende Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Mo 18.06.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Konvergieren folgende Integrale ?
a) [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{0}{\bruch{(cos(x)-sin(x))^2}{x^2} dx} [/mm] |
Hallo,
kann ich bei der a) einfach sagen,
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} e^{-x^2} [/mm] = 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}e^{-x^2} [/mm] = 0 und daher muss [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2} dx} [/mm] konvergieren ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Konvergieren folgende Integrale ?
>
> a) [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2} dx}[/mm]
>
> b)
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{0}{\bruch{(cos(x)-sin(x))^2}{x^2} dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> kann ich bei der a) einfach sagen,
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} e^{-x^2}[/mm] = 0 und
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}e^{-x^2}[/mm] = 0 und daher muss
> [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2} dx}[/mm] konvergieren ?
Nein, so einfach geht das nicht.
Bsp.: 1/x [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty [/mm] , aber [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] ist divergent.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mo 18.06.2012 | | Autor: | bammbamm |
Wie kann ich dann zeigen, dass das Integral konvergiert/divergiert ? Das Integral auszurechnen ist, denke ich, hierfür zu umständlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wie kann ich dann zeigen, dass das Integral
> konvergiert/divergiert ?
Es genügt, zu zeigen: [mm] \integral_{1}^{ \infty}{e^{-x^2} dx} [/mm] ist konvergent (warum genügt das ?)
Es ist [mm] e^{-x^2} \le \bruch{1}{x^2} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 1.
FRED
> Das Integral auszurechnen ist,
> denke ich, hierfür zu umständlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mo 18.06.2012 | | Autor: | bammbamm |
Wie kann ich denn dann die Abschätzung bei der b) [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{0}{\bruch{(cos(x)-sin(x))^2}{x^2} dx} [/mm] vornehmen ?
|
|
|
| |
|
Hallo bammbamm,
> Wie kann ich denn dann die Abschätzung bei der b)
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{0}{\bruch{(cos(x)-sin(x))^2}{x^2} dx}[/mm]
> vornehmen ?
Nun, hier solltest du eine divergente Minorante finden.
Schaue dir den Zähler im Intervall [mm] $\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$ [/mm] an und schätze ihn geeignet ab ...
Kannst dir das ja mal aufzeichnen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
