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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Do 12.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Wenn die Werte auf jeder Sekante einer Funktion oberhalb der Funktion sind, so ist die Funktion dort konvex.
Definition:
Sei f:I-> [mm] \IR [/mm] (I Intervall)
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I [mm] \forall \alpha \in [/mm] (0,1)
f ( [mm] \alpha [/mm] x + (1- [mm] \alpha [/mm] ) y) [mm] \le \alpha [/mm] * f(x) + (1- [mm] \alpha [/mm] ) * f(y)
<=>f ist konvex |
So haben wir es in der Vorlesung aufgeschrieben.
Aber ich verstehe die Definition leider so gar nicht ;(
Ich mag zeigen, dass die gesamte Sekante oberhalb des Graphen liegt . So muss ich mir einzelne Punkte der Sekante ausrechnen. Die Punkte parametrisiere ich mit
[mm] \alpha [/mm] x + (1- [mm] \aplha) [/mm] y
mit [mm] \alpha \in [/mm] (0,1)
also wenn [mm] \alpha=0 [/mm] ist es y
und [mm] \alpha= [/mm] 1 so x
und dazwischen bewege ich mich entlang der Sekante.
f ( [mm] \alpha [/mm] x + (1- [mm] \alpha [/mm] ) y) [mm] \le \alpha [/mm] * f(x) + (1- [mm] \alpha [/mm] ) * f(y)
Das versteh ich gar nicht ;(
das Links sind die x-werte der Punkte der Sekante ausgewertet auf unsere Funktion.
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> Wenn die Werte auf jeder Sekante einer Funktion oberhalb
> der Funktion sind, so ist die Funktion dort konvex.
> Definition:
> Sei f:I-> [mm]\IR[/mm] (I Intervall)
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] I [mm]\forall \alpha \in[/mm] (0,1)
> f ( [mm]\alpha[/mm] x + (1- [mm]\alpha[/mm] ) y) [mm]\le \alpha[/mm] * f(x) + (1-
> [mm]\alpha[/mm] ) * f(y)
> <=>f ist konvex
>
>
> So haben wir es in der Vorlesung aufgeschrieben.
>
> Aber ich verstehe die Definition leider so gar nicht ;(
>
> Ich mag zeigen, dass die gesamte Sekante oberhalb des
> Graphen liegt .
> So muss ich mir einzelne Punkte der Sekante
> ausrechnen. Die Punkte parametrisiere ich mit
> [mm]\alpha[/mm] x + (1- [mm]\alpha)[/mm] y
> mit [mm]\alpha \in[/mm] (0,1)
> also wenn [mm]\alpha=0[/mm] ist es y
> und [mm]\alpha=[/mm] 1 so x
> und dazwischen bewege ich mich entlang der Sekante.
Hallo,
nein, x und y sind keine Punkte der Sekante, sondern Stellen der x-Achse, genauer: Elemente des Intervalls I, welches Du auf der x-Achse einzeichnen müßtest, denn es ist ja eine Teilmenge des Definitionsbereiches.
Du hast also zwei Punkte [mm] x,y\in [/mm] I, und in der Tat ist für jedes [mm] a\in [/mm] (0,1) der Punkt [mm]\alpha[/mm] z:=x + (1- [mm]\alpha)[/mm] y einer, der zwischen x und y liegt.
f([mm]\alpha[/mm] x + (1- [mm]\alpha)[/mm] y ) ist also der Funktionswert eines Punktes zwischen x und y, und Du willst zeigen, daß dieser unterhalb der Geraden, die durch die Punkte (x,f(x)) und (y,f(y)) verläuft, liegt.
Würde er auf dieser Geraden liegen, so wäre
[mm] \bruch{f(z)-f(y)}{z-y}=\bruch{f(y)-f(x)}{y-x},
[/mm]
woraus sich f(z)=af(x)+(1-a)f(y) ergibt.
Konvex aber bedeutet, daß f(z) darunter liegt,
also
> f ( [mm]\alpha[/mm] x + (1- [mm]\alpha[/mm] ) y) [mm]\le \alpha[/mm] * f(x) + (1- [mm]\alpha[/mm] ) * f(y)
LG Angela
> Das versteh ich gar nicht ;(
> das Links sind die x-werte der Punkte der Sekante
> ausgewertet auf unsere Funktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 12.01.2012 | | Autor: | Lu- |
> Würde er auf dieser Geraden liegen, so wäre
> $ [mm] \bruch{f(z)-f(y)}{z-y}=\bruch{f(y)-f(x)}{y-x}, [/mm] $
> woraus sich f(z)=af(x)+(1-a)f(y) ergibt.
Da hackt es, das versteh ich nämlich nicht. Kannst du mir das vlt. erklären?
> der Punkt $ [mm] \alpha [/mm] $ z:=x + (1- $ [mm] \alpha) [/mm] $ y einer, der zwischen x und y liegt
liegen die Punkte z auf der Sekante oder auf der Funktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Do 12.01.2012 | | Autor: | chrisno |
z ist doch wieder eine Stelle auf der x-Achse.
Auf einer Sekante oder einer Funktion kann nur ein Punkt (x; f(x)) liegen.
f(x) ist ein Funktionswert, der zu der Stelle x auf der x-Achse gehört.
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