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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Mi 29.06.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich bin in einem Skript über folgende Behauptung gestolpert und kann diese leider nicht verifizieren. Daher meine Frage wieso dies gilt:
Sei [mm] A\subset X [/mm] eine konvexe, kompakte, nicht leere Teilmenge eines normierten Raumes. Dann definiert man:
[mm] L_r(A) = \bigcup_{x\in A}B_r(x) [/mm] für ein [mm] r>0 [/mm].
Nun wird behauptet, dass [mm] L_r(A) [/mm] offen, nicht leer und konvex sei. Offenheit und nicht leer ist klar. Aber wieso ist die Menge konvexe. Ich weiss, dass die Bälle alle konvex sind. Aber i.A. ist ja eine Vereinigung von konvexen Mengen nicht konvex. Ich habe mir gedacht, na gut, das obenstehende ist ja eine offene Überdeckung von [mm] A [/mm]. Also gibt es eine endliche Teilüberdeckung:
[mm] A \subset \bigcup_{i=1}^N B_r(x_i) [/mm] mit [mm] x_i \in A [/mm]. Dennoch muss dies ja ebenfalls keine konvexe Menge darstellen. Die Bälle decken ja mehr als A ab, also kann ich ja auch nicht die Konvexität von A benützen. Ich bin für eine Klärung dankbar!
greetz
hula
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Hallo,
kein Wunder, dass Du die Behauptung nicht beweisen kannst, denn sie ist falsch. Gegenbeispiel:
Wähle A das offene (Einheits)quadrat, "nahe" bei 2 benachbarten Ecken 2 Punkte und dafür ein "großes" r (z.B. r=5), für alle anderen Punkte aus A r=0,1.
Jetzt sollten wir in den Bällen mit großem Radius 2 Punkte finden, deren Verbindung nicht in der Vereinigung liegt.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Mi 29.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> kein Wunder, dass Du die Behauptung nicht beweisen kannst,
> denn sie ist falsch. Gegenbeispiel:
> Wähle A das offene (Einheits)quadrat,
Dieses A ist nicht kompakt.
> "nahe" bei 2
> benachbarten Ecken 2 Punkte und dafür ein "großes" r
> (z.B. r=5), für alle anderen Punkte aus A r=0,1.
???
Es war
$ [mm] L_r(A) [/mm] = [mm] \bigcup_{x\in A}B_r(x) [/mm] $ für ein r>0.
FRED
> Jetzt sollten wir in den Bällen mit großem Radius 2
> Punkte finden, deren Verbindung nicht in der Vereinigung
> liegt.
> Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mi 29.06.2011 | | Autor: | hula |
Hm also stimmt die Behauptung doch? Resp. wie kann man diese denn zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mi 29.06.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Schritt: nimm zwei Punkte [mm] x_0, y_0 [/mm] aus dem norm. Raum und setze
[mm] $S:=\{x_0+t(y_0-x_0): t \in [0,1]\}$
[/mm]
Male Dir ein Bild von [mm] L_r(S) [/mm] ! (im [mm] \IR^3 [/mm] sieht das aus wie eine gerade Wurst)
Zeige: [mm] L_r(S) [/mm] ist konvex.
2. Nimm x,y [mm] \in L_r(A). [/mm] Dann ex. [mm] x_0,y_0 \in [/mm] A mit: x [mm] \in B_r(x_0) [/mm] und y [mm] \in B_r(y_0)
[/mm]
Da A konvex ist, ist
[mm] $S:=\{x_0+t(y_0-x_0): t \in [0,1]\} \subseteq [/mm] A$
und damit auch [mm] L_r(S) \subseteq L_r(A).
[/mm]
Aus 1. folgt:
x+t(y-x) [mm] \in L_r(S) [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [0,1].
Damit:
x+t(y-x) [mm] \in L_r(A) [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [0,1].
FRED
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Hallo,
trotz meiner Blamage von oben möchte ich mich doch nochmal melden; jetzt lieber mit einer Frage.
Wo wird A kompakt verwendet? Ist diese Bedingung überflüssig?
Gruß kobinian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin kobinian
> trotz meiner Blamage von oben möchte ich mich doch
> nochmal melden; jetzt lieber mit einer Frage.
> Wo wird A kompakt verwendet? Ist diese Bedingung
> überflüssig?
Man braucht die Bedingung, dass $A$ kompakt ist, nicht.
Ich vermute die Kompaktheit ist hier nur "zufaellig" aufgetaucht, weil die Aussage im Skript von hula zufaelligerweise fuer eine kompakte konvexe Menge gebraucht wurde und nicht fuer irgendeine. Die Voraussetzung, dass $A$ nicht leer ist, wird ebensowenig benoetigt.
LG Felix
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