Konvexität < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo!
Ich soll zeigen, dass eine im Intervall liegende Funktion [mm] f:I\to\IR [/mm] genau dann konvex ist, wenn
[mm] f(\bruch{x+y}{2})\le\bruch{f(x)+f(y)}{2}
[/mm]
ich muss hierbei ja hin-und rück-richtung zeigen.
Wir haben Kovexität so definiert:
eine Funktion [mm] f:D\to\IR [/mm] heißt konvex, wenn für alle [mm] x,y\inD [/mm] und [mm] 0<\lambda<1 [/mm] gilt:
[mm] f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
[/mm]
meine idee war jetzt von [mm] f(\bruch{x+y}{2})\le\bruch{f(x)+f(y)}{2} [/mm] auszugehen und das "irgendwie" auf [mm] f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) [/mm] umzurechnen und umgekehrt. Ich habe:
[mm] f(\bruch{x+y}{2})\le\bruch{f(x)+f(y)}{2}
[/mm]
wenn isch jetzt [mm] \lambda=\bruch{1}{2} [/mm] setzte erhalte ich:
[mm] f(\lambda x+\lambda y)\le\lambda(f(x)+f(y))=\lambda f(x)+\lambda [/mm] f(y)
aber irgendwie komme ich da nicht weiter. Kann ich mit [mm] f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) [/mm] noch anders arbeiten? Oder benötige ich eine andere Definition?
Ich freue mich über jeden Tipp.
Liebe Grüße
Lilium
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Hallo Lillium,
eine Richtung hast du ja schon dastehen.... welche?
Für die andere... naja, ein wenig Eigenrecherche wäre schon schön gewesen, insbesondere wenn die Hinweise bei Wikipedia (z.B. durchhangeln von ![[]](/images/popup.gif) hier nach hier) so umfangreich sind.
Liebe Grüße,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Bei wiki habe ich schon gelesen (hätte ich das erwähnen sollen? für mich ist es eingetlich klar, dass ich vorher selber nachdenke, probiere und nachschlage...), und auch jensensche ungleichung habe ich gegoogelt, aber wir hatten das in der Vl noch nicht, was in dem wiki artikel über die ungleichung (bzgl des beweises) steht, daher muss ich da wohl anders rangehen. Ich bin mir halt nicht mal ansatzweise sicher, wie ich diese konvexitäts-Definition aus der Vorlesung anwenden soll auf meine aufgabenstellung. Aber kann ich es denn irgendwie umformen? Hat jemand einen tipp oder ein beispiel? Wir hatten in der Vorlesung leider nur die definition.
Liebe Grüße
Lilium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Do 27.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> danke für die schnelle Antwort. Bei wiki habe ich schon
> gelesen (hätte ich das erwähnen sollen? für mich ist es
> eingetlich klar, dass ich vorher selber nachdenke, probiere
> und nachschlage...), und auch jensensche ungleichung habe
> ich gegoogelt, aber wir hatten das in der Vl noch nicht,
> was in dem wiki artikel über die ungleichung (bzgl des
> beweises) steht, daher muss ich da wohl anders rangehen.
> Ich bin mir halt nicht mal ansatzweise sicher, wie ich
> diese konvexitäts-Definition aus der Vorlesung anwenden
> soll auf meine aufgabenstellung. Aber kann ich es denn
> irgendwie umformen? Hat jemand einen tipp oder ein
> beispiel? Wir hatten in der Vorlesung leider nur die
> definition.
Überlege dir mal, was die Aussage anschaulich heisst.
(*) [mm] f(\bruch{x+y}{2})\le\bruch{f(x)+f(y)}{2} [/mm]
bedeutet doch, dass, wenn du dir die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten $(x,f(x))$ und $(y,f(y))$ anschaust, der Mittelpunkt [mm] $((\bruch{x+y}{2}), \bruch{f(x)+f(y)}{2})$ [/mm] dieser Strecke auf oder oberhalb des Punktes [mm] $((\bruch{x+y}{2}), f(\bruch{x+y}{2}))$ [/mm] (auf dem Grafen der Funktion f) liegt.
Die allgemeine Definition der Konvexität bedeutet, das jeder Punkt der Verbindungsstrecke auf oder oberhalb des Grafen liegt: wenn [mm] $\lambda$ [/mm] von 0 bis 1 läuft, durchläuft
[mm] (\lambda x+(1-\lambda)y,\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)) [/mm]
die Punkte der Verbindungsstrecke von x und y, während
[mm] (\lambda x+(1-\lambda)y,f(\lambda x+(1-\lambda)y)) [/mm]
die Punkte des Grafen von f zwischen $(x,f(x))$ und $(y,f(y))$ durchläuft.
Offensichtlich ist die Aussage (*) über den Mittelpunkt ein Spezialfall davon, nämlich für [mm] $\lambda=1/2$. [/mm] Das ist die eine Richtung der Äquivalenz.
Der Knackpunkt ist nun, dass aus (*) (für beliebige Werte von x und y) die allgemeine Bedingung
[mm]f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) [/mm]
folgt, was du nachweisen musst.
Vielleicht machst du dir die Aussage erst einmal an ein paar Bildern klar, bevor du versuchst, es formal zu beweisen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 27.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo,
ich habe fleißig gezeichnet!! Klar, mit [mm] \lambda=\bruch{1}{2} [/mm] habe ich da schon mal die richtung vom allgemeinen auf den "Spezialfall". Kann ich für die rückrichtung vielleicht sagen, dass ich die Wahl von [mm] \lambda [/mm] auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] einschränke?? ich muss ja irgendwie zeigen, dass es für alle [mm] \lambda [/mm] zwischen 0 und 1 gilt, aber wenn der Spezialfall nur für [mm] \lambda=\bruch{1}{2} [/mm] gilt... kann ich das irgendwie "erweitern"? Ist ja schon seltsam, dass da eine Äquivalenz besteht, hätte ich nicht gedacht (kam bislang auch leider nicht vor).
Hat jemand einen Tipp für mich für die Rückrichtung?
LG
Lilium
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Hallo Lillium,
den Link zu Wikipedia hatten wir ja schon diskutiert.
Das Problem ist jetzt, dass der Weg von Jensen wohl der einzig gangbare ist.
Zusammengefasst also:
Die Aussage muss irgendwie verallgemeinert werden zu:
[mm] $f\left(\bruch{ax + by}{a+b}\right) \le \bruch{a}{a+b}f(x) [/mm] + [mm] \bruch{b}{a+b}f(y)$ [/mm] für [mm] $a,b\in\IN$
[/mm]
D.h. für $a=b=1$ würde es die Voraussetzung darstellen.
Aus obiger Ungleichung wäre es dann ein leichtes eure Definition der Konvexität zu folgern!
Aber bisher hab ich keinen Weg ausser Jensens gefunden, wie man das hinbekommen könnte....
MFG,
Gono.
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