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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Konvexität herstellen
Konvexität herstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvexität herstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mo 03.06.2019
Autor: Sabine.S

Aufgabe
Gegeben Sei die nicht konvexe Menge $$
K [mm] :=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | 1 $$

und die Abbildung
$$
[mm] \vec{f} [/mm] : M [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(x, [/mm] y, z) [mm] \mapsto\left(\begin{array}{c}{\ln (x+3)+e^{x^{2}}+x y^{2}} \\ {x^{2} y+y^{2}+10} \\ {\frac{1}{e^{-z}}}\end{array}\right) [/mm]
$$

Vergrößern Sie den Definitionsbereich von [mm] $\vec{f}$ [/mm] auf eine offene konvexe Menge [mm] $\tilde{K},$ [/mm] sodass $M [mm] \subseteq \tilde{M} [/mm] .$ (Die Abbildung soll auch auf [mm] $\tilde{M}$ [/mm] stetig differenzierbar sein.)

Guten Tag,
die Aufgabe in der Box stellt für mich im Moment eine Herausforderung dar, da ich nicht weiß wie ich sie lösen soll.

Die Menge K ist eine art hole Kugel.

Um die Konvexität herzustellen, müsste ich den Hohlraum doch eigentlich nur füllen oder?
Natürlich müsste wegen der Diffbarkeit von f gelten $x> -1$ sonst macht der Log probleme.

Ich hoffe mir kann Jemand den entscheidenden Tipp geben?

MFG
Sabine


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvexität herstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Mo 03.06.2019
Autor: fred97


> Gegeben Sei die nicht konvexe Menge[mm][/mm]
>  K [mm]:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | 1
> [mm][/mm]
>  
> und die Abbildung
> [mm][/mm]
>  [mm]\vec{f}[/mm] : M [mm]\rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(x,[/mm] y, z)
> [mm]\mapsto\left(\begin{array}{c}{\ln (x+3)+e^{x^{2}}+x y^{2}} \\ {x^{2} y+y^{2}+10} \\ {\frac{1}{e^{-z}}}\end{array}\right)[/mm]
> [mm][/mm]


Ich gehe davon aus, dass [mm] \vec{f} [/mm] auf K definiert ist (anderenfalls: was ist M ??).


>  
> Vergrößern Sie den Definitionsbereich von [mm]\vec{f}[/mm] auf
> eine offene konvexe Menge [mm]\tilde{K},[/mm] sodass [mm]M \subseteq \tilde{M} .[/mm]


Du meinst sicher

         $K [mm] \subseteq \tilde{K}$ [/mm]


> (Die Abbildung soll auch auf [mm]\tilde{M}[/mm] stetig
> differenzierbar sein.)


.... auf [mm]\tilde{K}[/mm]....


>  Guten Tag,
>  die Aufgabe in der Box stellt für mich im Moment eine
> Herausforderung dar, da ich nicht weiß wie ich sie lösen
> soll.
>  
> Die Menge K ist eine art hole Kugel.

Ja , aus der offenen Kugel um (0,0,0) mit [mm] \sqrt{3} [/mm] wurde die abgeschlossene Kugel um (0,0,0) mit Radius 1 entfernt.


>  
> Um die Konvexität herzustellen, müsste ich den Hohlraum
> doch eigentlich nur füllen oder?
>  Natürlich müsste wegen der Diffbarkeit von f gelten [mm]x> -1[/mm]


Wieso x>-1 ??  [mm] \ln [/mm] (x+3) ist definiert für x > -3.


> sonst macht der Log probleme.

Ja, schauen wir uns doch mal den maximalen Definitionsbereich von [mm] \vec{f} [/mm] an: der ist

       [mm] $D:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x > -3\}.$ [/mm]

Zeige nun:

1. D ist offen und konvex;

2. K [mm] \subset [/mm] D;

3. [mm] \vec{f} [/mm] ist auf D stetig differenzierbar.

Dann leistet $ [mm] \tilde{K}:=D [/mm] $  das Gewünschte.


>  
> Ich hoffe mir kann Jemand den entscheidenden Tipp geben?
>
> MFG
>  Sabine
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Konvexität herstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Mo 03.06.2019
Autor: Sabine.S

Ui, dass werden aber dann 2 Seiten in Latex:),
ich danke für die Hilfe

Bezug
                        
Bezug
Konvexität herstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 Mo 03.06.2019
Autor: fred97


> Ui, dass werden aber dann 2 Seiten in Latex:),

Nun übertreib mal nicht.  Im wesentlichen ist  doch nur  die  Konvexität von D zu zeigen,  was auch nicht viel Arbeit  ist. Der Rest ist  (fast ) trivial.


>  ich danke für die Hilfe


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