Konvexität nur durch 2. Abl. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
um Wendepunkte zu bestimmen, braucht man die Nullstellen der zweiten Ableitung einer Funktion f(x).
Ich weiß, dass man für konvex und konkav Eigenschaften die dritte Ableitung braucht.
Kann man aber nur anhand der zweiten Ableitung sagen, ob die Funktion in einem Intervall I links- bzw. rechtsgekrümmt ist? Indem man die Vorzeichen von der zweiten Ableitung einer Funktion betrachtet? Geht das oder braucht man zwangsläufig immer die dritte Ableitung?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> um Wendepunkte zu bestimmen, braucht man die Nullstellen
> der zweiten Ableitung einer Funktion f(x).
Ja. Und überlege mal genau, weshalb. Also welche geometrische Information liefert die 2. Ableitung (bei Funktionen vom Typ f: [mm] \IR\to \IR [/mm] ) ?
> Ich weiß, dass man für konvex und konkav Eigenschaften
> die dritte Ableitung braucht.
Da weißt du mehr als ich.
> Kann man aber nur anhand der zweiten Ableitung sagen, ob
> die Funktion in einem Intervall I links- bzw.
> rechtsgekrümmt ist? Indem man die Vorzeichen von der
> zweiten Ableitung einer Funktion betrachtet?
Genau so geht es, und nicht anders.
Gruß, Diophant
PS: Denke doch mal ein bisschen über das Konzept der Ableitung als solches nach. Was beschreibt sie unabhängig vom Funktiongraphen, also rein 'zahlenmäßig'? Und jetzt überlege dir, wie die Steigung und die Krümmung eines Funktionsgraphen zusammenhängen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 28.12.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo und danke für die Antwort.
Die erste Ableitung liefert die Steigung an einer bestimmten Stelle [mm] x_0. [/mm]
Die zweite Ableitung liefert wiederum die Steigung der Tangente, also der ersten Ableitung und beschreibt das Krümmungsverhalten zwischen den Wendepunkten. Die zweite Ableitung beschreibt also die Änderung des Anstiegs in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] und somit das Krümmungsverhalten.
Was mir aber an einer Aufgabe aufgefallen ist, die Wendepunkte müssen im Definitionsbereich von f(x) liegen, diesen Fehler hatte ich bei einer Aufgabe leider übersehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Mi 28.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
inhaltlich hast du natürlich recht, wenn du die geometrische Information der 2. Ableitung als Krümmung bezeichnest. Dennoch wäre ich mit dieser Wortwahl vorsichtig. Die genaue Definition des Begriffs Krümmung über Ableitungen ist recht anspruchsvoll. Im Zweidimensionalen meint man mit Krümmung (in einem Punkt) nämlich den Kehrwert des Radius des größten Kreises, der eine Kurve in diesem Punkt gerade noch berührt und nicht schneidet. Daran sieht man schon, dass die Krümmung - so verstanden - kleiner wird, wenn die Kurve stärker gekrümmt ist. Außerdem sagen die Zahlenwerte der 2. Ableitung bis auf ihr Vorzeichen nichts aus: selbst bei ein und derselben Funktion können zwei identische Werte der 2. Ableitung an unterschiedlichen Stellen für völlig unterschiedliche Krümmungen stehen.
In der Schule verwendet man ja gerne den Begriff Drehsinn. Nur hat der wiederum den Nachteil, dass er nur die Drehrichtung aber nicht das Ausmaß der Krümmung meint.
Insofern mogelt man sich gerne mit Sätzen wie: die 2. Ableitung liefert eine Information über das Krümmungsverhalten des Graphen o.ä. durch.
Gruß, Diophant
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Hallo,
das wusste ich gar nicht, obwohl ich Mathe Leistungskurs im Abitur hatte. Wieder was gelernt. Werde ich im Hinterkopf behalten. Vielen Dank für die Aufklärung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mi 28.12.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Bitte die Frage als Mitteilung deklarieren, sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 28.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmals,
beachte bitte noch, dass mir oben ein Fehler unterlaufen war. Die Krümmung ist natürlich der Kehrwert des Radius des Krümmungskreises. Siehe dazu die ![[]](/images/popup.gif) einschlägige Quelle.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mi 28.12.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, ich lese mir den Artikel auf Wiki mal durch. Ich danke dir vielmals.
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