Konvexität von Funktionen < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich lese gerade das Buch Problem Solving Strategies von Arthur Engel und mache gerade Ungleichungen.
Dort wird einfach gesagt, dass die Funktion
f(a,b,c)=a/(b+c+1) + b/(a+c+1) + c/(a+b+1) +(1-a)*(1-b)*(1-c) für 1>=a,b,c >=0 konvex ist und daher seinen Extrempunkt in (1,1,1) erreicht.
Und meine Frage ist nun
1. Wie sehe ich der Funktion an, dass sie konvex ist?
2. Und warum nimmt sie dann ihren Extremwert grade für a=1, b=1, c=1 ein?
LG, David
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Achso die zu beweisende Aussage ist das f(a,b,c)<=1 ist mit den gemachten Eigenschaften.
LG, David
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Ja da die Fälligkeit abgelaufen war, meld ich mich mal wieder.
Wär echt nett von euch wenn ihr mir helfen könntet. :)
LG, David
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Noch eine Frage.
Ist so eine Funktion noch grafisch darstellbar?
Also eigentlich ja nicht, weil f(x,y) ist ja grade eine Flächenfunktion.
Also müsste ja f(a,b,c) eine Funktion vierter Dimension sein?
Entschuldigt wenn meine Ausdrucksweise nicht grade sehr mathematisch ist.
LG, David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 28.04.2010 | | Autor: | chrisno |
> 1. Wie sehe ich der Funktion an, dass sie konvex ist?
Was für Sätze über konvexe Funktionen kennst Du? Recherchier mal.
> 2. Und warum nimmt sie dann ihren Extremwert grade für
> a=1, b=1, c=1 ein?
Ich nehme als Beispiel für eine konvexe Funktion eine Normalparabel $f(x) = [mm] x^2$. [/mm] Da ist klar, dass die ein Minimum bei (0/0) hat, aber kein Maximum. Wenn man nun den Definitionsbereich beschränkt, auf $a [mm] \le x\le [/mm] b$ dann kann das Minimum in diesem Bereich liegen, oder auch nicht. Auf jeden Fall wird der größte Wert an einem der beiden Randpunkte angenommen. Die muss man sich anschauen. Beispiel: $a = 1, b = 3, f(1) = 1, f(3) = 9$ damit ist das Maximum bei (3/9).
Bei Deiner Funktion ist es komplizierter, weil es 8 Randpunkte sind.
Es gilt aber trotzdem wegen der Konvexität, dass das Maximum am Rand angenommen werden muss.
Probe: $f(1/1/1) = 1, f(0/0/0) = 1, f(1/0/0) = 1 $ u.s.w.
Also wird das Maximum nicht nur bei (1/1/1) angenommen.
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Naja das hier wäre mein Ansatz zum prüfen...
f(tx+(1-t)y) <= t f(x) +(1-t) f(y)
Das is aus Wikipedia, aber wie mach ich das dann mit 3 Variablen, also eben bei meiner Funktion.
LG, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Fr 30.04.2010 | | Autor: | chrisno |
f(tx+(1-t)y) <= t f(x) +(1-t) f(y)
>
> aber wie mach ich das dann mit 3 Variablen?
das x kannst Du als Vektor lesen, also [mm] $f\left( t \vektor{a \\ b \\ c} + (1-t) \vektor{d \\ e \\ f} \right)$.
[/mm]
Im Ergebnis heißt das, dass das t vor jedem a, b und c als Faktor steht.
Kannst Du Ableitungen berechnen? Dann geht es wahrscheinlich einfacher.
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naja nur mit x dann...
is das viel schwieriger mit 3 variablen?
LG, David
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Muss ich einfach die anderen beiden Variablen als konstant ansehen und dann so die Ableitung machen?
Lg, David
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Naja ich hab jetzt mal nach a abgeleitet und komme auf
f''(a,b,c)=2b(a+c+1)^(-3) +2c(a+b+1)^(-3), was ja größer als 0 ist, also wäre die Funktion auch konvex.
Aber meine Frage ist nun, ob die Ableitung richtig ist.
Wäre schön wenn sich einer von euch mal mit der Ableitung auseinander setzen könnte.
Lg, David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 02.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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