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Hallo zusammen,
ich betrachte gerade die Definition zu Morphismen von Varietäten.
Dabei habe ich zwei affine Varietäten A und B in verschiedenen Affinen Räumen (über einem Körper k) V und W gegeben. Dann ist davon die Rede, dass jeder affiner Raum eigene Koordinaten hat, also V hat die Koordinaten [mm] x_{1},..., x_{n} [/mm] und W hat die Koordinaten [mm] y_{1},... y_{m}. [/mm]
Nun frage ich mich was die Koordinaten überhaupt sind?
Es ist so oft davon die Rede, aber nirgends wird definiert, was Koordinaten denn überhaupt sind?
Wäre für Hinweise und Erklärungen dankbar.
Grüsse
Nichtmathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Di 12.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hööp
i.A, sind die Koordinaten die Komponenten in Richtung der Basisvektoren..
Gruß ledum
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Das ist mir im "normalen" Zusammenhang klar gewesen.
Aber wie kann denn eine Menge (was doch der affine Raum schlussendlich doch ist, oder?) Koordinaten haben? Es ist ja kein Punkt, oder verstehe ich hier etwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 12.07.2016 | | Autor: | leduart |
zu einem affine Raum gibt es immer einen zugeordneten VR. um Koordinaten zu haben musst du im affine Raum einen Nullpunkt wählen bzw. festlegen. den zugehörigen VR kannst du z.B als Äquivalenzklasse von Punktefahren nehmen.
Gruß leduart
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Hi leduart,
ich fürchte, du sprichst hier vom affinen Raum in einem anderen Sinne, als der Fragesteller. In der (klassischen) algebraischen Geometrie ist der $n$-dimensionale affine Raum [mm] $\mathbb{A}^n$ [/mm] zwar als Menge auch der [mm] $k^n$, [/mm] aber man interessiert sich hier für die Varietäten=abgeschlossene Teilmengen bezüglich einer speziellen Zariski-Topologie und untersucht diese, indem man ihnen in funktorieller spezielle $k$-Algebren, nämlich ihre Koordinatenringe zuordnet. Falls $k$ algebraisch abgeschlossen ist, sichert der Nullstellensatz von Hilbert, dass dieser Prozess umkehrbar ist, und man algebraischen Objekten geeignet geometrische Objekte zuordnen kann. (Dieser sagt nämlich mehr oder weniger, dass die Kategorie der affinen Varietäten genau dual zur Kategorie der reduzierten Algebren von endlichem Typ ist.)
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Um zu sagen, was genau mit "Koordinaten" gemeint ist, müsste man den genauen Kontext wissen, in dem das verwendet wird. Vielleicht kann ich trotzdem ein wenig über Morphismen von Varietäten erzählen. Sei zunächst [mm] $V\subseteq\mathbb{A}^n$ [/mm] eine affine Varietät und [mm] $k[V]=k[x_1,\dots,x_n]/\mathcal{I}(V)$ [/mm] ihr zugeordneter Koordinatenring. Elemente von $k[V]$ sind von der Form [mm] $\overline{f}$ [/mm] mit [mm] $f\in k[x_1,\dots,x_n]$. [/mm] Hierbei gilt [mm] $\overline{f}=\overline{g}$, [/mm] falls [mm] $f-g\in\mathcal{I}(V)$, [/mm] das heißt, falls die Differenz auf $V$ verschwindet, wenn also $f$ und $g$ dieselbe polynomielle Funktion auf $V$ darstellen. Elemente des Koordinatenringes $k[V]$ entsprechen also polynomiellen Funktionen [mm] $V\longrightarrow [/mm] k$. Ein Homomorphismus [mm] $\psi:k[y_1,\dots,y_m]\longrightarrow [/mm] k[V]$ entspricht einfach der Auswahl von $m$ polynomiellen Funktionen [mm] $f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n):V\longrightarrow [/mm] k$ - das heißt zusammengesetzt einer Polynomiellen Funktion [mm] $V\longrightarrow k^m$, [/mm] nämlich
[mm] $\begin{pmatrix}a_1\\\dots\\a_n\end{pmatrix}\longmapsto\begin{pmatrix}f_1(a_1,\dots,a_n)\\\dots\\f_m(a_1,\dots,a_n)\end{pmatrix}$.
[/mm]
Die Funktionen [mm] $k[W]\longrightarrow [/mm] k[V]$ entsprechen nun denjenigen Homomorphismen [mm] $k[y_1,\dots,y_m]\longrightarrow [/mm] k[V]$, deren Kern das Ideal [mm] $\mathcal{I}(W)$ [/mm] enthält. [mm] $\mathcal{I}(W)\subseteq\ker(\psi)$ [/mm] heißt aber gerade: Für jedes [mm] $g(y_1,\dots,y_m)\in\mathcal{I}(W)$ [/mm] gilt [mm] $g(f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n))\in\mathcal{I}(V)$, [/mm] das heißt für alle [mm] $g\in\mathcal{I}(W)$ [/mm] und alle [mm] $a\in [/mm] V$ gilt [mm] $g(f_1(a),\dots,f_m(a))=0$, [/mm] das heißt für alle [mm] $a\in [/mm] V$ gilt [mm] $(f_1(a),\dots,f_m(a))\in \mathcal{V}(\mathcal{I}(W))=W$. [/mm] Das heißt also gerade, dass unsere polynomielle Funktion von $V$ nach $W$ abbildet.
Wir haben uns also überlegt, dass ein Homomorphismus [mm] $k[W]\longrightarrow [/mm] k[V]$ dasselbe ist, wie ein Morphismus [mm] $V\longrightarrow [/mm] W$. Abstrakt ausgedrückt heißt das, dass man einen volltreuen Funktor [mm] $\mathbf{AffVar}\longrightarrow\mathbf{FinTypeRedAlg}(K)^\operatorname{op}$ [/mm] hat. Wir können also Geometrie verstehen, indem wir Algebra verstehen. Interessant wird es, falls $k$ algebraisch abgeschlossen ist. Dann sagt nämlich Hilberts Nullstellensatz gerade, dass dieser Funktor auch essentiell surjektiv, also nach kategoriellem Unsinn eine Äquivalenz von Kategorien ist. In diesem Fall können wir also umgekehrt Algebra verstehen, indem wir die Geometrie verstehen. Und hier wird die algebraische Geometrie fruchtbar.
Falls wir keinen algebraisch abgeschlossenen Körper vorliegen haben, müssen wir anders vorgehen. Im algebraisch abgeschlossenen Fall verstehen wir (reduzierte) Quotienten von [mm] $k[x_1,\dots,x_n]$, [/mm] indem wir Varietäten, also gewisse Unterstrukturen von [mm] $\mathbb{A}^n=\operatorname{MaxSpec}(k[x_1,\dots,x_n])$ [/mm] verstehen. Haben wir einen allgemeinen kommutativen Ring $R$, so müssen wir das Maximalspektrum durch das ganze Spektrum [mm] $\operatorname{Spec}(R)$ [/mm] ersetzen und Varietäten mit ihren Morphismen durch gewisse lokalgeringt Räume, nämlich [mm] $\mathcal{V}(I)=\operatorname{Spec}(R/I)$ [/mm] mit seiner Strukturgarbe. Lokalgeringte Räume dieser Form nennt man affine Schemata und man hat dann mehr oder weniger per Konstruktion und etwas kategoriellem Unsinn eine Äquivalenz [mm] $\mathbf{CRing}^{\operatorname{op}}\cong\mathbf{AffSch}$. [/mm] Letztere Kategorie sitzt drin in der etwas größeren Kategorie beliebiger Schemata, welche durch geeignetes Verkleben von affinen Schemata entstehen und den Hauptuntersuchungsgegenstand der modernen algebraischen Geometrie ausmachen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Vielen Dank erstmal für eure ausführlichen Antworten. Also vom Kontext her soll es um Morphismen zwischen algebraischen Mengen / affinen Varietäten sowie deren induzierten k-Algberahomomorphismen zwischen den zugehörigen affinen Koordinatenringen gehen.
Ich habe mich durch Recherche zumindest mal soweit durchgearbeitet, dass ich weiss, dass die Koordinaten eines affinen Koordinatenrings (einer affinen Varietät) seine Erzeuger sind.
Inwiefern ich das "weiterverarbeiten" kann, wird sich die Tage zeigen.
Grüsse
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