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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 So 16.10.2005 | | Autor: | Barid |
Hi, ich stehe leider vor einem kleinen Problem bei einer Hausaufgabe:
Angabe ist ein Methanmolekül (CH4). Es hat die Struktur eines regelmäßigen Tetraeders (im Schwerpunkt das C-Atom, in den Ecken die 4 H-Atome). Der Abstand [mm] \overline{CH} [/mm] beträgt 109 pm (picometer)
Die H-H-H Winkel haben natürlich 60° und ein H-C-H Winkel 108,43°...
Das C-Atom liegt im Koordinatenursprung, H1 auf der z-Achse mit (0|0|109).
H2 liegt "unter" der positiven x-achse und ich konnte die Koordinaten mit
(103,41|0|-34,46) berechnen.
(bin vorgegangen wie folgt: aus der formel für das winkelmaß cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \overrightarrow{a} [/mm] . [mm] \overrightarrow{b} [/mm] / | [mm] \overrightarrow{a} [/mm] |.| [mm] \overrightarrow{b} [/mm] | bei [mm] \alpha [/mm] = 108,43° und | [mm] \overrightarrow{a} [/mm] | = 109 bzw. | [mm] \overrightarrow{b} [/mm] | = 109
habe ich die z-koordinate berechnet. mit dem tan von 180 - [mm] \alpha [/mm] und z war der x-wert kein problem mehr)
Nun habe ich aber das Problem wie ich zu H3 und H4 komme. Die z-Koordinate der beiden ist natürlich wie bei H2 -34,46.
Aus der Lösung weiß ich, dass die y Koordinaten [mm] \pm [/mm] 91,7 sein müssen und die x Koordinate -47,7 hat.
Nun muss ich aber den Weg dorthin finden.
zu lösen soll das ganze aus den "gegebenen Winkelwerten und wiederholten Ausführungen diverser Skalarprodukte" sein. Nur weiß ich nicht wirklich was ich da machen soll... ich kann [mm] \overrightarrow{CH3} [/mm] ja nicht auf die y-Achse projezieren wenn ich den Vektor selbst suche, oder?
Hoffe ich hab das Problem verständlich erklärt und warte nun gespannt auf eure Tipps.
Vielen Dank schon mal
Barid
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Barid,
> Angabe ist ein Methanmolekül (CH4). Es hat die Struktur
> eines regelmäßigen Tetraeders (im Schwerpunkt das C-Atom,
> in den Ecken die 4 H-Atome). Der Abstand [mm]\overline{CH}[/mm]
> beträgt 109 pm (picometer)
> Die H-H-H Winkel haben natürlich 60° und ein H-C-H Winkel
> 108,43°...
>
> Das C-Atom liegt im Koordinatenursprung, H1 auf der z-Achse
> mit (0|0|109).
> H2 liegt "unter" der positiven x-achse und ich konnte die
> Koordinaten mit
> (103,41|0|-34,46) berechnen.
>
> (bin vorgegangen wie folgt: aus der formel für das
> winkelmaß cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\overrightarrow{a}[/mm] .
> [mm]\overrightarrow{b}[/mm] / | [mm]\overrightarrow{a}[/mm] |.|
> [mm]\overrightarrow{b}[/mm] | bei [mm]\alpha[/mm] = 108,43° und |
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] | = 109 bzw. | [mm]\overrightarrow{b}[/mm] | =
> 109
> habe ich die z-koordinate berechnet. mit dem tan von 180 -
> [mm]\alpha[/mm] und z war der x-wert kein problem mehr)
>
> Aus der Lösung weiß ich, dass die y Koordinaten [mm]\pm[/mm] 91,7
> sein müssen und die x Koordinate -47,7 hat.
> Nun muss ich aber den Weg dorthin finden.
> zu lösen soll das ganze aus den "gegebenen Winkelwerten
> und wiederholten Ausführungen diverser Skalarprodukte"
> sein. Nur weiß ich nicht wirklich was ich da machen soll...
> ich kann [mm]\overrightarrow{CH3}[/mm] ja nicht auf die y-Achse
> projezieren wenn ich den Vektor selbst suche, oder?
>
> Hoffe ich hab das Problem verständlich erklärt und warte
> nun gespannt auf eure Tipps.
>
Also: Wenn Du das mit den Winkelwerten nicht gesagt hättest, würde ich so vorgehen:
Man weiß ja: Der Schwerpunkt eines regeluären Tetraeders teilt die Höhen im Verhältnis 3 : 1.
Das heißt: Die Höhe, die durch die C und [mm] H_{1} [/mm] geht, trifft die "Grundfläche" des Tetraeders in [mm] L(0;0;-\bruch{109}{3})
[/mm]
(By the way: Wie bist Du auf -34,46 gekommen? Ich vermute, dass dies bereits die erste Auswirkung des ungenauen Tetraederwinkels von 108,43° ist - dies ist ja auch der große Nachteil Deines auf ungenauen Winkeln beruhenden Verfahrens!)
Alle drei verbleibenden H-Atome liegen also in der Ebene z = [mm] -\bruch{109}{3}, [/mm] einer Parallelen der xy-Ebene.
Das zweite H-Atom - Du möchtest es auf der Parallelen zu x-Achse haben -
hat dann zunächst mal die Koordinaten (a; 0; [mm] -\bruch{109}{3}), [/mm] mit a > 0.
Wir wissen: [mm] H_{2} [/mm] hat von C(0;0;0) den Abstand 109.
Daher: [mm] \wurzel{(a^{2} + 0 + (\bruch{109}{3})^{2}} [/mm] = 109
Quadriert:
[mm] a^{2}+ (\bruch{109}{3})^{2} [/mm] = [mm] 109^{2}
[/mm]
[mm] a^{2} [/mm] = [mm] 109^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{109}{3})^{2} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9}*109^{2}
[/mm]
a>0, daher: a = [mm] \bruch{218}{3}*\wurzel{2} (\approx [/mm] 102,77)
Die Koordinaten der andern beiden ergeben sich nun analog, wobei sich ihre y-Koordinaten ja nur im Vorzeichen unterscheiden und die x-Koordinaten gleich (wenn auch negativ) sind:
[mm] H_{3}(-a; [/mm] b; [mm] -\bruch{109}{3}) [/mm]
[mm] H_{4}(-a; [/mm] -b; [mm] -\bruch{109}{3}); [/mm] (a, b > 0)
a und b kannst Du nun z.B. daraus berechnen, dass Du
- einerseits den Abstand von C(0;0;0) verwendest (wie oben),
- andererseits z.B. den Abstand zu [mm] H_{1} [/mm] (den man ja auch aus der Tetraedereigenschaft leicht ermitteln kann).
(Oder Du verwendest die Eigenschaft, dass die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist!)
Wie gesagt: Dieser Weg erscheint mir leichter und exakter.
Aber anscheinend sollst Du ja anders vorgehen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mo 17.10.2005 | | Autor: | Barid |
Vielen Dank für deine Bemühungen, Zwerglein!
Leider ist mein Internet kurz nachdem ich die Frage gestellt hatte zusammengebrochen (keine Ahnung warum) und so konnte ich deine Antwort leider nicht mehr rechtzeitig sehen und in meine Überlegungen integrieren.... :(
Wie dem auch sei - ich hab die Aufgabe dann doch irgendwie fertig gelöst, wenn auch (scheinbar)falsch/ungenau. Mal sehen was mein Professor dazu sagen wird.
Also nochmals Danke
mfg Barid
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