Koordinatenform / Winkel-Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Di 24.11.2009 | | Autor: | Candoo |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 6 | −12 | 22 ) , B ( 38 | 4 | 22 ) , M (19 | 2 | 19) und die Ebene E1: 2x1 − 4x2 + 5x3 = 65 gegeben.
Die Punkte A, B und M bestimmen eine Ebene E2.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E2 und berechnen Sie den Winkel, den E2 mit der x1-x2-Ebene einschließt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das Ergebnis soll : E2: −x1 + 2x2 + 5x3 = 80 sein
Meine erste Frage:
Wie komme ich von der Parametergleichung zur Koordinatengleichung?
Meine zweite Frage:
Wenn von der x1-x2 - Ebene gsprochen wird muss ich doch x3=1 setzen,oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Di 24.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Hallo
ich glaub am besten erklär ich dir das schritt für schritt.
Du hast ja die 3 Punkte A ( 6 | −12 | 22 ) , B ( 38 | 4 | 22 ) , M (19 | 2 | 19).
Erst bildest du die parameterform. Zum Beispiel :
E : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6\\ -12\\22} [/mm] + [mm] s*\vektor{32 \\ 16\\0} +t*\vektor{13 \\ 14\\-3}
[/mm]
Dann bildest du mit den Richtungsvektoren das vektorprodukt.
(wenn ihr das nicht hattet dann guck mal im tafelwerk nach)
[mm] \vektor{32 \\ 16\\0} [/mm] x [mm] \vektor{13 \\ 14\\-3} [/mm] = [mm] \vektor{-48 \\ 96\\240}
[/mm]
dann hast du die Normalenform : E: [mm] (\vec{x}-\vektor{6\\ -12\\22})*\vektor{-48 \\ 96\\240}
[/mm]
Wenn du das ausmultiplizierst bekommst du die Koordinatenform:
Nicht vergessen : [mm] \vec{x}=\vektor{x\\ y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}
[/mm]
-48x + 96y +240z +3840 = 0 /:48
-x + 2y + 5z + 80 = 0
Also man hätte auch eine andere Koordinatenform nehmen können. Das hängt davon ab welchen Punkt du in der Parametergleichung als Stützvektor genommen hast.
Und wenn man von der [mm] x_{1}x_{2}Ebene [/mm] spricht dann ist [mm] x_{3}=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Di 24.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Und wurde gesagt,dass wir nicht mit dem Kreuzprodukt arbeiten sollen.
Wie wäre die Alternative ohne das Kreuzprodukt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Also dann wäre es doch die Gleichung
32x+16y=0
13x+14y-3z=0
Umgestellt wäre die erste Gleichung:
32x=-16y
x=- 0,5 y
Dies kann man dann in die zweite Gleichung einsetzen:
-6,5y+14y=3z
7,5y=3z
z=2,5y
Dies können wir wieder in die zweite einsetzen:
7,5y=3*2,5, also stimmt es!
Also wäre dann die Lösung für n(-0,5y | 1y | 2,5y)
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
> Also dann wäre es doch die Gleichung
>
> 32x+16y=0
> 13x+14y-3z=0
>
> Umgestellt wäre die erste Gleichung:
> 32x=-16y
> x=- 0,5 y
>
> Dies kann man dann in die zweite Gleichung einsetzen:
>
> -6,5y+14y=3z
> 7,5y=3z
> z=2,5y
>
> Dies können wir wieder in die zweite einsetzen:
> 7,5y=3*2,5, also stimmt es!
>
> Also wäre dann die Lösung für n(-0,5y | 1y | 2,5y)
Hallo,
der Normalenvektor ist ja nicht eindeutig, eer kann verschiedene Länge haben.
Alle Normalenvektoren haben die Gestalt [mm] \vec{n}=(-0,5y [/mm] | 1y | 2,5y)=y*(-0.5|1|2.5)
Ein Normalenvektor wäre (-0.5|1|2.5), aber wenn es einem besser gefällt, kann man auch (-1|2|5) verwenden, oder (-50|100|250).
Deine Rechnung ist richtig. gib dann einen Normalenvektor an.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 29.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Eine Koordinatengleichung wäre also:
aus n=(-1|2|5)
-1a+2b+5c=0
Sehe ich das richtig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Diese Formel ist mir aber neu:
[mm] \vec{n}\cdot{}\vec{x}-\vec{n}\cdot{}\vec{a} [/mm] \ = \ 0
Seis drum:
Hier wäre dei eingesetzte Variante:
[mm] \vektor{-1\\2\\5}\cdot{}\vec{x}-\vektor{-1\\2\\5}\cdot{}\vec{a} [/mm] \ = \ 0
|
|
|
| |
|
> Diese Formel ist mir aber neu:
Hallo,
trotzdem ist sie gut...
> [mm]\vec{n}\cdot{}\vec{x}-\vec{n}\cdot{}\vec{a}[/mm] \ = \ 0
>
> Seis drum:
> Hier wäre dei eingesetzte Variante:
>
> [mm]\vektor{-1\\2\\5}\cdot{}\vec{x}-\vektor{-1\\2\\5}\cdot{}\vec{a}[/mm]
> \ = \ 0
Da hast Du jetzt [mm] \vec{n} [/mm] eingesetzt, nun setze noch den Ortsvektor von A für [mm] \vec{a} [/mm] ein.
Du kannst dasselbe übrigens auch mit der Koordinatengleichung, die Dir wohl vertrauter ist, erreichen:
wegen des Normalenvektors weißt Du, daß die Ebene die Gleichung -1x+2y+5z=d hat, und das d bekommst Du durch Einsetzen des Punktes A, welcher ja in der Ebene liegen soll.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Candoo |
-1*6+2*-12+5*22=d
d ist also gleich 80,danke für die Hilfe:)
|
|
|
| |
|
Hallo Candoo,
alternativ zu Loddars Weg kannst Du auch mit den drei Ortsvektoren direkt arbeiten. Drei Punkte bestimmen im [mm] \IR^3 [/mm] ja eine Ebene, sofern sie nicht auf einer Geraden liegen.
Du hast A ( 6 | −12 | 22 ) , B ( 38 | 4 | 22 ) und M (19 | 2 | 19) und suchst eine Ebenengleichung der Form [mm] ax_1+bx_2+cx_3=d. [/mm] Jeder Deiner drei Punkte muss sie erfüllen - aber es gibt da vier zu bestimmende Koeffizienten: a,b,c und d. Das ist kein Wunder, weil die Ebenengleichung ja nicht eindeutig ist, du kannst sie z.B. mit einem beliebigen [mm] k\in\IR\setminus\{0\} [/mm] multiplizieren und beschreibst immer noch die gleiche Ebene.
Zu lösen ist mit den gegebenen Punkten also dieses Gleichungssystem:
6a-12b+22c=d (aus den Koordinaten von A)
38a+4b+22c=d (aus den Koordinaten von B)
19a+2b+19c=d (aus den Koordinaten von M)
Eine der Variablen darfst Du Dir als Parameter aussuchen, die anderen drei kannst Du dann bestimmen.
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Do 26.11.2009 | | Autor: | Candoo |
6a-12b+22c=d (aus den Koordinaten von A)
38a+4b+22c=d (aus den Koordinaten von B)
19a+2b+19c=d (aus den Koordinaten von M)
Also wäre es
I:6a=12b-22c+d |:6
a=2b-22/6c+d/6
Einsetzen in II:
38(2b-22/6c+d/6)+4b+22c=d
=76b-139 1/3 c + 6 1/3d+4b+22c-d=0
=89b-117 1/3 c + 5 1/3d=0
=117 1/3c=89b+ 5 1/3d
=c=267/352b+1/22d
Einsetzen in III:
19(2b-22/6c+d/6)+2b+19(267/352b+1/22d)=d
=28b-69 2/3c+ 3 1/6d + 2b+14 145/352b+19/22d-1d=0
=44 145/352b=-3 1/33d
b=0,068231732d
Ich glaube das stimmt irgendwie nicht,wenn ich diese Methode benutze
|
|
|
| |
|
Hallo Candoo,
die Methode funktioniert garantiert. Leider kann ich Deine Rechnung nur sehr schlecht lesen. Bitte benutze doch den Formeleditor. So verwende ich mehr Aufwand auf das Entziffern als auf das Nachvollziehen der Rechnung, so dass mir die Lust vergeht, Deinen Rechenfehler zu suchen - falls überhaupt einer da ist. Wie gesagt ist die zu ermittelnde Ebenengleichung nicht eindeutig. Vielleicht muss ich ja nur d=347 wählen und habe dann doch "hübsche" Koeffizienten. Oder doch [mm] d=\tfrac{11}{59} [/mm] ?
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 26.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Also:
6a-12b+22c=d (aus den Koordinaten von A)
38a+4b+22c=d (aus den Koordinaten von B)
19a+2b+19c=d (aus den Koordinaten von M)
Also wäre es
I:6a=12b-22c+d |:6
a=2b-22/6c+d/6
Einsetzen in II:
[mm] 38(2b-\bruch{22}{6}c+\bruch{1}{6}s)+4b+22c=d
[/mm]
=76b-139 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] c + 6 1/3d+4b+22c-d=0
=89b-117 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] c + 5 [mm] \bruch{1}{3}d=0
[/mm]
=117 [mm] \bruch{1}{3}c=89b+ [/mm] 5 [mm] \bruch{1}{3}d
[/mm]
[mm] =c=\bruch{267}{352}b+\bruch{1}{22}d
[/mm]
Einsetzen in III:
[mm] 19(2b-\bruch{22}{6}c+\bruch{1}{6}s)+2b+19(\bruch{267}{352}b+\bruch{1}{22}d)=d
[/mm]
=28b-69 [mm] \bruch{2}{3}c+ [/mm] 3 [mm] \bruch{1}{6}d [/mm] + 2b+14 [mm] \bruch{145}{352}b+\bruch{19}{22}d-1d=0
[/mm]
=44 [mm] \bruch{145}{352}b=-3 \bruch{1}{33}d
[/mm]
b=0,068231732d
|
|
|
| |
|
Hallo Candoo,
> Also:
> 6a-12b+22c=d (aus den Koordinaten von A)
> 38a+4b+22c=d (aus den Koordinaten von B)
> 19a+2b+19c=d (aus den Koordinaten von M)
>
> Also wäre es
> I:6a=12b-22c+d |:6
> a=2b-22/6c+d/6
>
> Einsetzen in II:
> [mm]38(2b-\bruch{22}{6}c+\bruch{1}{6}s)+4b+22c=d[/mm]
> =76b-139 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] c + 6 1/3d+4b+22c-d=0
> =89b-117 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] c + 5 [mm]\bruch{1}{3}d=0[/mm]
Die Gleichung muss hier so lauten:
[mm]8\red{0}b-117 \bruch{1}{3} c + 5 \bruch{1}{3}d=0[/mm]
> =117 [mm]\bruch{1}{3}c=89b+[/mm] 5 [mm]\bruch{1}{3}d[/mm]
> [mm]=c=\bruch{267}{352}b+\bruch{1}{22}d[/mm]
Demnach ergibt sich hier:
[mm]c=\bruch{2\red{40}}{352}b+\bruch{1}{22}d[/mm]
>
> Einsetzen in III:
>
> [mm]19(2b-\bruch{22}{6}c+\bruch{1}{6}s)+2b+19(\bruch{267}{352}b+\bruch{1}{22}d)=d[/mm]
>
> =28b-69 [mm]\bruch{2}{3}c+[/mm] 3 [mm]\bruch{1}{6}d[/mm] + 2b+14
> [mm]\bruch{145}{352}b+\bruch{19}{22}d-1d=0[/mm]
>
> =44 [mm]\bruch{145}{352}b=-3 \bruch{1}{33}d[/mm]
> b=0,068231732d
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:47 So 29.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Und wie sieht nun die Koordinatenform aus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 29.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo candoo!
Welche Werte hast Du denn nun für die Koeffizienten $a,b,c,d_$ erhalten?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 So 29.11.2009 | | Autor: | Candoo |
a=1/60 d
b=-1/30 d
c=1/44 d
erhalte ich als Ergebnis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:58 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Candoo |
a=1/60 d
b=-1/30 d
c=1/44 d
erhalte ich als Ergebnis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Skalarprodukt![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Setze in die Normelangleichung nun den Normalenvektor sowie den Ortsvektor des Punktes $A_$ ein:
