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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Koordinatenform ax + by + cz = d der Ebene, die durch a = [mm] (0,0,1)^{T} [/mm] und b = [mm] (1,5,2)^{T} [/mm] aufgespannt wird. |
Hallo zusammen, ich habe ein bisschen Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
Erste Frage: das T bedeuten doch nur das ich den Vektor, nicht wie in der Aufgabenstellung als Zeilenvektor sondern als Spaltenvektor darstelle, richtig?.
Als nächstes müsste ich dann ja die Parametergleichung der Ebene aufstellen, Stützvektor wäre in dem Fall doch [mm] (0,0,0)^{T}, [/mm] oder? Dann sehe das so aus:
[mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+s\vektor{1 \\ 5 \\ 2}
[/mm]
mit: x=s; y=5s und z=r+2s.
Bin ich soweit richtig unterwegs? Wenn ja, hab ich jetzt leider Probleme daraus die Koordinatenform zu bekommen. Irgendwie steckt der Wurm drinne. Wäre froh über einen Denkanstoss.
MFG Dax
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Bestimmen Sie die Koordinatenform ax + by + cz = d der
> Ebene, die durch a = [mm](0,0,1)^{T}[/mm] und b = [mm](1,5,2)^{T}[/mm]
> aufgespannt wird.
> Hallo zusammen, ich habe ein bisschen Schwierigkeiten mit
> dieser Aufgabe.
> Erste Frage: das T bedeuten doch nur das ich den Vektor,
> nicht wie in der Aufgabenstellung als Zeilenvektor sondern
> als Spaltenvektor darstelle, richtig?.
Genau so ist das. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Als nächstes müsste ich dann ja die Parametergleichung
> der Ebene aufstellen, Stützvektor wäre in dem Fall doch
> [mm](0,0,0)^{T},[/mm] oder? Dann sehe das so aus:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+s\vektor{1 \\ 5 \\ 2}[/mm]
>
> mit: x=s; y=5s und z=r+2s.
>
> Bin ich soweit richtig unterwegs? Wenn ja, hab ich jetzt
> leider Probleme daraus die Koordinatenform zu bekommen.
> Irgendwie steckt der Wurm drinne. Wäre froh über einen
> Denkanstoss.
So, wie du jetzt richtig begonnen hast, musst du nichts weiter tun als aus den drei erhaltenen Gleichungen r und s zu eliminieren. Das Resultat wird eine Gleichung in x, y und z sein: die gesuchte Koordinatenform.
Eine Alternative wäre die, das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren als Normalenvektor zu verwenden, das geht ein wenig schneller. Außerdem weiß man hier, dass auf der rechten Seite die Konstante d=0 sein muss (da der Ursprung in der Ebene liegt).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Hallo Diophant, danke für deine Antwort.
Und genau mit dieser Eliminierung von s und r tue ich mich seit gestern Abend irgendwie schwer. Habe mir unzählige Beispiele angesehen die ich nachvollziehen kann aber bei der Aufgabe komm ich aus irgendeinem Grund nicht weiter.
Wenn ich, wie du alternativ vorgeschlagen hast, das Kreuzprodukt beider Richtungsvektoren als Normalvektor verwende, müssten das so aussehen:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}x\vektor{1 \\ 5 \\ 1}=\vektor{0*1 - 1*5 \\ 1*1 - 0*1 \\ 0*5 - 0*1}=\vektor{0-5 \\ 1-0 \\ 0-0}=\vec{n}=\vektor{-5 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
also wäre die Koordinatenform dann: -5x+1y=0 richtig? Dann hab ich zumindest mal das richtige Ergebnis und kann mich weiter an der Eliminierung versuchen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Diophant, danke für deine Antwort.
>
> Und genau mit dieser Eliminierung von s und r tue ich mich
> seit gestern Abend irgendwie schwer. Habe mir unzählige
> Beispiele angesehen die ich nachvollziehen kann aber bei
> der Aufgabe komm ich aus irgendeinem Grund nicht weiter.
>
> Wenn ich, wie du alternativ vorgeschlagen hast, das
> Kreuzprodukt beider Richtungsvektoren als Normalvektor
> verwende, müssten das so aussehen:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}x\vektor{1 \\ 5 \\ 1}=\vektor{0*1 - 1*5 \\ 1*1 - 0*1 \\ 0*5 - 0*1}=\vektor{0-5 \\ 1-0 \\ 0-0}=\vec{n}=\vektor{-5 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> also wäre die Koordinatenform dann: -5x+1y=0 richtig?
Ja
FRED
>
> Dann
> hab ich zumindest mal das richtige Ergebnis und kann mich
> weiter an der Eliminierung versuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Super, vielen Dank!
MFG Dax
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Hallo,
> Hallo Diophant, danke für deine Antwort.
>
> Und genau mit dieser Eliminierung von s und r tue ich mich
> seit gestern Abend irgendwie schwer.
Dann hier das ganjze noch zur Vervollständigung:
I. x=s
II. y=5s
III. z=r+2s
Aus II. folgt: s=1/5*y. Einsetzen von I. und II. in III sowie Multiplikation mit 5 ergibt:
z=x+2/5*y <=>
5x+2y-5z=0
Deine Rechnung mit dem Kreuzprodukt ist insofern falsch, als du einen falschen Richtungsvektor verwendet hast.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Vielen Dank für die Vervollständigung Diophant, jetzt wo man es vor Augen hat wird's klar.
Danke auch für den Hinweis auf den fehlerhaften Richtungsvektor! Ist mir garnicht aufgefallen. Allerdings bekomme ich auch bei der Korrektur mit dem richtigen Richtungsvektor, das selbe Kreuzprodukt, was mache ich falsch?
[mm] \vec{a}x\vec{b}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}x\vektor{1 \\ 5 \\ 2}=\vektor{0*2 - 1*5 \\ 1*1 - 0*2 \\ 0*5 - 0*1}=\vektor{0-5 \\ 1-0 \\ 0-0}=\vektor{-5 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
MFG Dax
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> Vielen Dank für die Vervollständigung Diophant, jetzt wo
> man es vor Augen hat wird's klar.
> Danke auch für den Hinweis auf den fehlerhaften
> Richtungsvektor! Ist mir garnicht aufgefallen. Allerdings
> bekomme ich auch bei der Korrektur mit dem richtigen
> Richtungsvektor, das selbe Kreuzprodukt, was mache ich
> falsch?
>
> [mm]\vec{a}x\vec{b}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}x\vektor{1 \\ 5 \\ 2}=\vektor{0*2 - 1*5 \\ 1*1 - 0*2 \\ 0*5 - 0*1}=\vektor{0-5 \\ 1-0 \\ 0-0}=\vektor{-5 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> MFG Dax
Hallo,
Du machst nichts falsch.
[mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+\vektor{1 \\ 5 \\ 1},
[/mm]
daher kommt das.
Man kann es sich auf verschiedene Weise überlegen, aber vielleicht reicht Dir ja schon die Info, daß Du richtig gerechnet hast.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Nein, jetzt steh ich auf'm Schlauch. Also nochmal langsam:
> Eine Alternative wäre die, das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren als
> Normalenvektor zu verwenden, das geht ein wenig schneller. Außerdem weiß man hier,
> dass auf der rechten Seite die Konstante d=0 sein muss (da der Ursprung in der Ebene liegt).
Daher bilde ich das Kreuzprodukt aus [mm] \vec{a}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{1 \\ 5 \\ 2}=\vec{a}x\vec{b}=\vektor{-5 \\ 1 \\ 0} [/mm] dieses Kreuzprodukt verwende ich als Normalvektor [mm] \vec{n}=\vektor{a \\ b \\ c}, [/mm] dessen Koordinatenform ax + by + cz + d = 0 ist. Also: -5x+y=0.
Wenn
> 5x+2y-5z=0
die richtige Lösung ist, dann wäre der dazugehörige Normalvektor im Umkehrschluss (laut ![[]](/images/popup.gif) dieser Erklärung):
[mm] \vec{n}=\vektor{5 \\ 2 \\ -5}, [/mm] wie komme ich darauf?
MFG Dax
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> Nein, jetzt steh ich auf'm Schlauch. Also nochmal langsam:
>
> > Eine Alternative wäre die, das Kreuzprodukt der beiden
> Richtungsvektoren als
> > Normalenvektor zu verwenden, das geht ein wenig
> schneller. Außerdem weiß man hier,
> > dass auf der rechten Seite die Konstante d=0 sein muss
> (da der Ursprung in der Ebene liegt).
>
> Daher bilde ich das Kreuzprodukt aus [mm]\vec{a}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vec{b}=\vektor{1 \\ 5 \\ 2}=\vec{a}x\vec{b}=\vektor{-5 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> dieses Kreuzprodukt verwende ich als Normalvektor
> [mm]\vec{n}=\vektor{a \\ b \\ c},[/mm] dessen Koordinatenform ax +
> by + cz + d = 0 ist. Also: -5x+y=0.
>
> Wenn
>
> > 5x+2y-5z=0
> die richtige Lösung ist, dann wäre der dazugehörige
> Normalvektor im Umkehrschluss (laut
> dieser Erklärung):
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{5 \\ 2 \\ -5},[/mm]
Hallo,
es ist aber 5x+2y-5z=0 nicht die richtige Lösung, denn [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ -5} [/mm] ist kein Normalenvektor der gegebenen Ebene, wie Du sofort merkst, wenn Du ihn mal mit [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] multiplizierst (Skalarprodukt).
LG Angela
> wie komme ich darauf?
>
> MFG Dax
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Das heißt mit deiner Aussage:
> Du machst nichts falsch.
war gemeint das meine Lösung: -5x+y=0 richtig ist?
Das würde wiederrum bedeuten das Diophants Veranschaulichung der Eliminierung von s und r falsch ist?
MFG Dax
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Hallo Daxter,
> Das heißt mit deiner Aussage:
> > Du machst nichts falsch.
> war gemeint das meine Lösung: -5x+y=0 richtig ist?
>
Ja.
> Das würde wiederrum bedeuten das Diophants
> Veranschaulichung der Eliminierung von s und r falsch ist?
>
Das ist dann wohl so.
> MFG Dax
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Alles klar, dann vielen Dank für eure Hilfe!
MFG Dax
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Do 26.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmal,
ich hatte mich da vorhin vertan. Die Methode mit dem LGS sollte klar geworden sein, aber natürlich ist deine Version richtig, wie Angela ja auch bestätigt hat.
Sorry also für meinen Fehler.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Garkein Problem, trotzdem danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 26.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo Daxter
steht in der Aufgabe Gleichung der Ebene oder der Ebenen? , denn es gibt ja viele Ebenen, nicht nur durch (0,0,0) , die von den 2 Vektoren aufgespannt werden.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Do 26.06.2014 | | Autor: | Daxter |
Die Aufgabe spricht von einer Ebene, aber danke für den Hinweis.
MFG Dax
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