Koordinatengleichung Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Do 12.04.2007 | | Autor: | Kati216 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Mathe - Fans!
Meine Aufgabe lautet: Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene [mm] E_2, [/mm] von der E und [mm] E_1 [/mm] denselben Abstand haben.
Gegeben:
E: [mm] 2x_1+x_2+2x_3=0
[/mm]
[mm] E_1: [/mm] 2x+y+2z=12
der Abstand der beiden Ebenen beträgt 4LE
Ich könnte mir vorstellen, dass der Normalvektor [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] von Bedeutung ist!
Mir ist unklar wie ich mit Hilfe des Abstandes auf eine weitere Koordinatengleichung kommen soll!
Ein Lösungsansatz oder Lösungsweg wäre nicht schlecht!
Danke
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Hallo,
du brauchst nur einen Punkt der von beiden Ebenen 2LE entfernt ist, das machste über die Hesseform beider Ebenen.
[mm] d(p;E_1)=d(p;E)=2
[/mm]
Such dir einen Punkt also aus.. bekommst ja eine Punktschar raus.. Punktvektor is ja senkrecht zum Normalenvektor (also Skalarprodukt beider ist 0)
Nun haste Punkt und Normalenvektor deiner gesuchten Ebene..
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 12.04.2007 | | Autor: | riwe |
das geht am einfachsten so:
wähle je einen punkt aus E und [mm] E_1, [/mm] z.b P(0/0/0) und Q(6/0/0).
der gesuchte punkt der ebene [mm] E_2 [/mm] ist dann [mm] M=\frac{1}{2}(P+Q), [/mm] also M(3/0/0), der richtungsvektor ist der normalenvektor der parallelen ebene E, bzw. [mm] E_1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Do 12.04.2007 | | Autor: | G3RM4NY |
| Aufgabe | > Hallo Mathe - Fans!
> Meine Aufgabe lautet: Ermitteln Sie eine
> Koordinatengleichung derjenigen Ebene [mm]E_2,[/mm] von der E und
> [mm]E_1[/mm] denselben Abstand haben.
>
> Gegeben:
> E: [mm]2x_1+x_2+2x_3=0[/mm]
> [mm]E_1:[/mm] 2x+y+2z=12
>
> der Abstand der beiden Ebenen beträgt 4LE
>
> Ich könnte mir vorstellen, dass der Normalvektor
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] von Bedeutung
> ist!
>
> Mir ist unklar wie ich mit Hilfe des Abstandes auf eine
> weitere Koordinatengleichung kommen soll!
> Ein Lösungsansatz oder Lösungsweg wäre nicht schlecht!
> Danke
|
Ich hab die Sache ohne die Hessische Form wie folgt gelöst:
Wie riwe schon beschrieben hat, habe ich erstmal den Punkt M bestimmt, der den Ortsvektor für die neue Ebene [mm]E_2,[/mm] darstellt: M(3/0/0).
Mit Hilfe des Normalenvektors lässt sich nun die Normalenform für [mm]E_2,[/mm] bestimmen:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] = 6
Jetzt suchen wir nur noch 2 Punkte die auf der Ebene liegen um daraus wiederrum eine Koordinatenform zu erstellen, z.B. A(0/0/3) und B(0/6/0).
Als Ortsvevktor dient der Punkt M, mit A und B kannst du die Koordinatenform jetzt einfach bilden.
Gruß,
G3RM4NY
PS: War einer meiner ersten Antwortversuche. Sorry dass ich die Antwort als Frage gesendet habe, hab ich zu spät bemerkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 12.04.2007 | | Autor: | riwe |
> > Hallo Mathe - Fans!
> > Meine Aufgabe lautet: Ermitteln Sie eine
> > Koordinatengleichung derjenigen Ebene [mm]E_2,[/mm] von der E und
> > [mm]E_1[/mm] denselben Abstand haben.
> >
> > Gegeben:
> > E: [mm]2x_1+x_2+2x_3=0[/mm]
> > [mm]E_1:[/mm] 2x+y+2z=12
> >
> > der Abstand der beiden Ebenen beträgt 4LE
> >
> > Ich könnte mir vorstellen, dass der Normalvektor
> > [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] von Bedeutung
> > ist!
> >
> > Mir ist unklar wie ich mit Hilfe des Abstandes auf eine
> > weitere Koordinatengleichung kommen soll!
> > Ein Lösungsansatz oder Lösungsweg wäre nicht schlecht!
> > Danke
>
> Ich hab die Sache ohne die Hessische Form wie folgt
> gelöst:
>
> Wie riwe schon beschrieben hat, habe ich erstmal den Punkt
> M bestimmt, der den Ortsvektor für die neue Ebene [mm]E_2,[/mm]
> darstellt: M(3/0/0).
> Mit Hilfe des Normalenvektors lässt sich nun die
> Normalenform für [mm]E_2,[/mm] bestimmen:
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0}[/mm] = 6
>
> Jetzt suchen wir nur noch 2 Punkte die auf der Ebene liegen
> um daraus wiederrum eine Koordinatenform zu erstellen, z.B.
> A(0/0/3) und B(0/6/0).
> Als Ortsvevktor dient der Punkt M, mit A und B kannst du
> die Koordinatenform jetzt einfach bilden.
>
> Gruß,
> G3RM4NY
>
> PS: War einer meiner ersten Antwortversuche. Sorry dass ich
> die Antwort als Frage gesendet habe, hab ich zu spät
> bemerkt.
da brauchst du doch nichts mehr zu suchen, mit M(3/0/0) und [mm] \vec{n}=\vektor{2\\1\\2}.
[/mm]
daher
[mm]2x+y+2z=2\cdot 3=6[/mm]
fertig
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