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Hallo Matheraum :)
Ich wollte mal fragen, ob es grundsätzlich i.O. ist, wenn ich anm folgende Aufgabe wie folgt rangehe:
Gib den Punkt [mm] (\wurzel{3},3,2) [/mm] des kartesischen Koordinatensystems in Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten an.
Sei [mm] (x,y,z)=(\wurzel{3},3,2)
[/mm]
Es ergibt sich somit in Polarkoordinaten [mm] (r,\varphi,z):
[/mm]
x=r [mm] \cdot [/mm] cos [mm] \varphi
[/mm]
y=r [mm] \cdot [/mm] sin [mm] \varphi
[/mm]
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Es ergibt sich somit in Zylinderkoordinaten [mm] (r,\varphi,z):
[/mm]
x=r [mm] \cdot [/mm] cos [mm] \varphi
[/mm]
y=r [mm] \cdot [/mm] sin [mm] \varphi
[/mm]
[mm] z=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Es ergibt sich somit in Kugelkoordinaten [mm] (r,\theta,\varphi):
[/mm]
x=r [mm] \cdot sin\theta cos\varphi
[/mm]
y=r [mm] \cdot sin\theta sin\varphi
[/mm]
z=r [mm] \cdot cos\theta
[/mm]
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
Ich berechne also in Polarkoordinaten zunächst meinen Radius und anschließend gebe ich die Punkte des kartesischen Koordinatensystems in Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten an.
Hier noch eine Skizze in Kartesischen Koordinaten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wäre für jede Hilfe dankbar.
mfg dodo4ever
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum :)
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> Ich wollte mal fragen, ob es grundsätzlich i.O. ist, wenn
> ich anm folgende Aufgabe wie folgt rangehe:
>
> Gib den Punkt [mm](\wurzel{3},3,2)[/mm] des kartesischen
> Koordinatensystems in Zylinderkoordinaten und
> Kugelkoordinaten an.
>
> Sei [mm](x,y,z)=(\wurzel{3},3,2)[/mm]
>
> Es ergibt sich somit in Polarkoordinaten [mm](r,\varphi,z):[/mm]
> x=r [mm]\cdot[/mm] cos [mm]\varphi[/mm]
> y=r [mm]\cdot[/mm] sin [mm]\varphi[/mm]
> [mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> Es ergibt sich somit in Zylinderkoordinaten [mm](r,\varphi,z):[/mm]
> x=r [mm]\cdot[/mm] cos [mm]\varphi[/mm]
> y=r [mm]\cdot[/mm] sin [mm]\varphi[/mm]
> [mm]z=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
Das ist nicht O.K.
Richtig:
x=r [mm]\cdot[/mm] cos [mm]\varphi[/mm]
y=r [mm]\cdot[/mm] sin [mm]\varphi[/mm]
[mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
z=z
>
> Es ergibt sich somit in Kugelkoordinaten
> [mm](r,\theta,\varphi):[/mm]
> x=r [mm]\cdot sin\theta cos\varphi[/mm]
> y=r [mm]\cdot sin\theta sin\varphi[/mm]
>
> z=r [mm]\cdot cos\theta[/mm]
> [mm]r=\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
O.K.
>
> Ich berechne also in Polarkoordinaten zunächst meinen
> Radius
Na ja, möglicherweise meinst Du das Richtige.
In Zylinderkoordinaten ist [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
In Kugelkoordinaten ist [mm] r=\wurzel{x^+y^+z^2}
[/mm]
> und anschließend gebe ich die Punkte des
> kartesischen Koordinatensystems in Zylinderkoordinaten und
> Kugelkoordinaten an.
Ja
FRED
>
> Hier noch eine Skizze in Kartesischen Koordinaten:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wäre für jede Hilfe dankbar.
>
> mfg dodo4ever
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Hallo und danke für die Hilfe fred97...
Dann muss ich das ganze natürlich nicht erst in Polarkoordinaten umrechnen, sondern kann direkt von den kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten umrechnen...
Es hatte sich leider ein kleiner Fehler eingeschlichen...
richtig ist (wie du auch schreibst):
Zylinderkoordinaten:
x=r [mm] \cdot [/mm] cos [mm] \varphi
[/mm]
y=r [mm] \cdot [/mm] sin [mm] \varphi
[/mm]
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
z=z
Mein Fehler kam wahrscheinlich durch Kopieren und Einfügen (Guttenberg lässt Grüßen) :)
Nun zu meinen Lösungen:::
Der ,,Kartesische" Punkt [mm] (x,y,z)=(\wurzel{3},3,2) [/mm] in Zylinderkoordinaten ausgedrückt ergibt:
[mm] r=\wurzel{{\wurzel{3}}^2+3^2}=\wurzel{12}=\wurzel{4 \cdot 3}=2 \cdot \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \varphi=arccos{\bruch{x}{r}}=arccos{\bruch{\wurzel{3}}{2 \cdot {\wurzel{3}}}}=arccos{\bruch{1}{2}}=\bruch{\pi}{3}
[/mm]
z=2
Also: [mm] (r,\varphi,z)=(2 \cdot \wurzel{3},\bruch{\pi}{2},2)
[/mm]
Der ,,Kartesische" Punkt [mm] (x,y,z)=(\wurzel{3},3,2) [/mm] in Kugelkoordinaten ausgedrückt ergibt:
[mm] r=\wurzel{{\wurzel{3}}^2+3^2+2^2}=\wurzel{16}=4
[/mm]
[mm] \theta=arccos\bruch{z}{r}=arccos\bruch{2}{4}=arccos\bruch{1}{2}=\bruch{\pi}{2},2)
[/mm]
z=2
Also: [mm] (r,\theta,z)=(4,\bruch{\pi}{2},2)
[/mm]
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mo 28.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die zylinderkoo sind richtig,
Kugelkoordinaten haben kein z, es fehlt [mm] \phi
[/mm]
und [mm] arccos(0.5)\ne \pi/2
[/mm]
den [mm] cos(\pi/2) [/mm] sollte man kennen!
Gruss leduart
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Hallo...
Ja also [mm] cos(\bruch{\pi}{2})=0 [/mm] aber wofür brauche ich den in dieser Aufgabe?
Hier nochmal meine Lösungen:
Kartesischer Punkt [mm] (\wurzel(3),3,2) [/mm] in Zylinderkoo.:
[mm] r=\wurzel{12}=\wurzel{4 \cdot 3}=2 \cdot \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \varphi=arccos\bruch{x}{r}=arccos\bruch{\wurzel{3}}{2 \cdot \wurzel{3}}=arccos\bruch{1}{2}=\bruch{\pi}{3}
[/mm]
z=2
Und somit: (2 [mm] \cdot \wurzel{3},\bruch{\pi}{2},2)
[/mm]
Kartesischer Punkt [mm] (\wurzel(3),3,2) [/mm] in Kugelkoo.:
[mm] r=\wurzel{16}=4
[/mm]
[mm] \theta=arccos\bruch{z}{r}=arccos\bruch{2}{4}=\bruch{\pi}{3}
[/mm]
[mm] \varphi=arccos\bruch{x}{r \cdot sin\theta}=arccos\bruch{\wurzel{3}}{4 \cdot sin\bruch{\pi}{3}}=arccos\bruch{\wurzel{3}}{7 \cdot \wurzel{3} \cdot 2}=\bruch{\pi}{3}
[/mm]
Und somit: (4, [mm] \bruch{\pi}{3}, \bruch{\pi}{3})
[/mm]
wofür jetzt [mm] cos(\pi/2)=0vich [/mm] habe doch nur den arccos oder?
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Di 29.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt alles richtig.
das mit [mm] cos(\pi/2)=0 [/mm] sagt dass [mm] arcos(0)=\pi\2 [/mm] ist und sicher nicht [mm] arcos(0.5)=\pi/2!
[/mm]
Gruss leduart
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