Koordinatentransformation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die zwei Koordinatensysteme S und S' im [mm] \IR^3, [/mm] während das Koordinatensystem ein kanonisches Koordinatensystem mit dem Ursprung [mm] O_{S}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] ist. S' ist ein orthonormales Koordinatensystem, von dem der Ursprungsvektor relativ zu S bekannt ist (also in Form von Koordinaten des Systems S)(also: [mm] O_{S'}=\vektor{x_{O_{S'}} \\ y_{O_{S'}}}, [/mm] und von dem die Richtungen seiner drei Koordinatenachsen (d.h. [mm] \vec{e'_1}, \vec{e'_2},\vec{e'_3} \in \IR^3) [/mm] gegeben sind.
Ziel ist es, einen gegebenen Punkt P [mm] \in \IR^3, [/mm] dessen Koordinaten des Systemes S bekannt sind, mit Koordinaten des Systemes S' darzustellen. |
Kann man diese Transformation auch durchführen, ohne ein riesiges Gleichungssystem lösen zu müssen?
Mein Problem ist es nämlich, dass ich es meinem C++ Compiler beibringen muss, und die Berechnungen möglichst elementar bzw. einfach bzw. kurz halten möchte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
Samael
|
|
| |
|
Hallo!
Zunächst solltest du von deinem Punkt P den Verschiebungsvektor abziehen, danach handelt es sich um ein lineares Problem.
Die Lösung ist eine simple Matrizenmultiplikation, die du dir mit dem Skalarprodukt klar machen kannst:
7
/:
/ :
r / :
/ :
/ :
/a :
+------'--->
e
|--s---|
Es gilt hier:
[mm] $\vec [/mm] r [mm] \ast\vec [/mm] e = [mm] |r||e|\cos \alpha$
[/mm]
und wenn man das rechtwinklige Dreieck betrachtet:
[mm] $s=|r|\cos \alpha=\frac{\vec r \ast\vec e}{|e|}$
[/mm]
Bei dir sind die e's Einheitsvektoren, was das ganze sehr vereinfacht:
[mm] $s_i=|r|\cos \alpha={\vec r \ast\vec e_i}$
[/mm]
und somit [mm] $\vec r^{S'}=s_1\vec e_1 +s_2\vec e_2 +s_3\vec e_3$
[/mm]
Wenn du genau hinschaust, siehst du, daß du das auch als Matrix hinschreiben kannst, wobei die neuen Einheitsvektoren diesmal in den Zeilen stehen.
|
|
|
|
