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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 Do 08.10.2009 | | Autor: | pinky2010 |
| Aufgabe | Die Differentialgleichung [mm] u_{x} [/mm] - [mm] v_{y} [/mm] = 0 beschreibt ein ebenes Vektorfeld. [mm] \vec{f} [/mm] = [mm] u(x,y)*\vec{i} [/mm] + [mm] v(x,y)*\vec{j} [/mm] die Wirbelfreiheit. Transformieren Sie die DGL in Polarkoordinaten. Das Vektorfeld ist in der neuen Basis darzustellen.
[mm] u_{x} [/mm] ist [mm] \bruch{d u(x,y)}{dx}, v_{y} [/mm] ist [mm] \bruch{d u(x,y)}{dy} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich gehe so vor:
u(x,y) [mm] \gdw \gamma(\varepsilon(x,y); \nu(x,y))
[/mm]
v(x,y) [mm] \gdw \pi(\varepsilon(x,y); \nu(x,y))
[/mm]
[mm] u_{x} [/mm] = [mm] \gamma_{\varepsilon} [/mm] * [mm] \varepsilon_{x} [/mm] + [mm] \gamma_{\nu} [/mm] * [mm] \nu_{x}
[/mm]
[mm] v_{y} [/mm] = [mm] \pi_{\varepsilon} [/mm] * [mm] \varepsilon_{y} [/mm] + [mm] \pi_{\nu} [/mm] * [mm] \nu_{y}
[/mm]
dann setze ich in die Dgl und bekomme mit Polarkoord:
[mm] \gamma_{\varepsilon} [/mm] * [mm] \bruch{x}{r} [/mm] + [mm] \gamma_{\nu} [/mm] * [mm] \bruch{-y}{r^{2}} [/mm] - [mm] \pi_{\varepsilon} [/mm] * [mm] \bruch{y}{r} [/mm] - [mm] \pi_{\nu} [/mm] * [mm] \bruch{x}{r^{2}}
[/mm]
dabei nehme ich [mm] \varepsilon [/mm] (x,y) = r(x,y) und [mm] \nu [/mm] (x,y) = phi(x,y) (die Polarkoord)
Der Ansatz so scheint nicht zu stimmen,
wie kann ich weiterrechnen.
Danke fuer jede Hilfe,
Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Fr 09.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tom!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Die Differentialgleichung [mm]u_{x}[/mm] - [mm]v_{y}[/mm] = 0 beschreibt ein
> ebenes Vektorfeld. [mm]\vec{f}[/mm] = [mm]u(x,y)*\vec{i}[/mm] +
> [mm]v(x,y)*\vec{j}[/mm] die Wirbelfreiheit. Transformieren Sie die
> DGL in Polarkoordinaten. Das Vektorfeld ist in der neuen
> Basis darzustellen.
> [mm]u_{x}[/mm] ist [mm]\bruch{d u(x,y)}{dx}, v_{y}[/mm] ist [mm]\bruch{d u(x,y)}{dy}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich gehe so vor:
> [mm]u(x,y) \gdw \gamma(\varepsilon(x,y); \nu(x,y)) [/mm]
> [mm] v(x,y) \gdw \pi(\varepsilon(x,y); \nu(x,y))[/mm]
>
> [mm]u_{x} =\gamma_{\varepsilon} * \varepsilon_{x} + \gamma_{\nu} * \nu_{x}[/mm]
> [mm]v_{y} = \pi_{\varepsilon} * \varepsilon_{y}+ \pi_{\nu} * \nu_{y}[/mm]
>
> dann setze ich in die Dgl und bekomme mit Polarkoord:
>
> [mm]\gamma_{\varepsilon} * \bruch{x}{r} + \gamma_{\nu} * \bruch{-y}{r^{2}} - \pi_{\varepsilon} * \bruch{y}{r} - \pi_{\nu} * \bruch{x}{r^{2}}[/mm]
Du musst dich schon auf einen Satz von Koordinaten festlegen, nicht $(x,y)$ und [mm] $(r,\phi)$ [/mm] mischen. Also entweder x und y durch r und [mm] $\phi$ [/mm] ausdrücken oder umgekehrt.
> dabei nehme ich [mm]\varepsilon[/mm] (x,y) = r(x,y) und [mm]\nu[/mm] (x,y) =
> phi(x,y) (die Polarkoord)
>
> Der Ansatz so scheint nicht zu stimmen,
Was meinst du damit? Was genau funktioniert nicht?
Bedenke, dass dein [mm] $\gamma$ [/mm] und [mm] $\pi$ [/mm] immer noch die Komponenten des Vektorfeldes [mm] $\vec{f}$ [/mm] in Richtung der kartesischen Koordinatenvektoren [mm] $\vec{e}_x$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_y$ [/mm] darstellen. Du sollst aber auch in die Basis [mm] $(\vec{e}_r,\vec{e}_\phi)$ [/mm] umrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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Leider konnte ich durch deine Hinweise die Aufgabe immer noch nicht lösen. Das mein Ansatz nicht stimmt...damit meinte ich einfach, dass er mir nicht richtig erscheint ;)
Wir haben noch nie in der Vorlesung die Koordinaten auch in der neuen Basis dargestellt. Wie muss ich denn da vorgehen? Hättest du ein Beispiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 13.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tom!
> Leider konnte ich durch deine Hinweise die Aufgabe immer
> noch nicht lösen. Das mein Ansatz nicht stimmt...damit
> meinte ich einfach, dass er mir nicht richtig erscheint ;)
>
> Wir haben noch nie in der Vorlesung die Koordinaten auch in
> der neuen Basis dargestellt. Wie muss ich denn da vorgehen?
> Hättest du ein Beispiel?
Hast du denn den ersten Fehler korrigiert, dass in deiner Formel
[mm] \gamma_{\varepsilon} \cdot{} \bruch{x}{r} + \gamma_{\nu} \cdot{} \bruch{-y}{r^{2}} - \pi_{\varepsilon} \cdot{} \bruch{y}{r} - \pi_{\nu} \cdot{} \bruch{x}{r^{2}} [/mm]
noch x und y vorkommen? Die musst du erst einmal durch die Polarkoordinaten ausdrücken.
Deine Funktionen [mm] $\gamma$ [/mm] und [mm] $\pi$ [/mm] sind dann zwar nur noch von $r$ und [mm] $\varphi$ [/mm] abhängig, aber es sind (immer noch) die Komponenten des Vektorfeldes in Richtung der kartesischen Einheitsvektoren
[mm] \vec{\imath} = \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vec{\jmath} = \vektor{0\\1}[/mm],
nämlich
[mm]\vec{f} = \gamma \vec{\imath} + \pi \vec{\jmath} [/mm]
Die Einheitsvektoren in ebenen Polarkoordinaten sind
[mm] \vec{e}_r = \partial_r \vec{r} = \vektor{\cos\varphi\\\sin\varphi} [/mm] und [mm] \vec{e}_\varphi = \vektor{-\sin\varphi\\\cos\varphi} [/mm]. Daher musst du passende Funktionen p und q finden, sodass
[mm] \vec{f} = p(r,\varphi) \vec{e}_r + q (r,\varphi) \vec{e}_\varphi [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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