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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Do 10.09.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
zunächst: Habe ich nach zehnminütiger Suche das richtige Unterforum gefunden?
Aufgabe ist: Beweisen Sie, dass [mm] \produkt_{k=1}^{n}\bruch{n-k+1}{k}=1 [/mm] mit [mm] n\in\IN
[/mm]
Prof hat irgendwas mit [mm] \bruch{\produkt_{j=1}^{n}j}{\produkt_{j=1}^{n}k} [/mm] vorgeschlagen, das hat aber niemand verstanden.
Meine Lösung:
[mm] \produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{-1*(k-n-1)}{k}]=\bruch{\produkt_{k=1}^{n}[-1*(k-n-1)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=\bruch{(-1)^{n}*\produkt_{k=1}^{n}[(k-n-1)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=(-1)^{n}*\bruch{\produkt_{k=1-n-1}^{n-n-1}[(k)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=(-1)^{n}*\bruch{\produkt_{k=-n}^{-1}[(k)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}
[/mm]
[mm] \mbox{Da }n\in\IN\mbox{ gilt für}
[/mm]
[mm] n\in\{2, 4, 6, ...\}\mbox{, dass }\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=1*\bruch{\produkt_{k=1}^{n}(k)}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=1 \mbox{ q. e. d.}
[/mm]
[mm] n\in\{1, 3, 5, ...\}\mbox{, dass }\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=(-1)*\bruch{-\produkt_{k=1}^{n}(k)}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=1 \mbox{ q. e. d.}
[/mm]
Ist das ok so? Durfte ich das Minus als [mm] (-1)^{n} [/mm] einfach herausziehen bzw. gibt es dafür eine Regel? Habe es nur durch logisches Denken erschlossen...
Wie kann ich das ganze noch "hochschultauglicher" schreiben, also möglichst ganz ohne Wörter?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Do 10.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> zunächst: Habe ich nach zehnminütiger Suche das richtige
> Unterforum gefunden?
>
> Aufgabe ist: Beweisen Sie, dass
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{n-k+1}{k}=1[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Prof hat irgendwas mit
> [mm]\bruch{\produkt_{j=1}^{n}j}{\produkt_{j=1}^{n}k}[/mm]
> vorgeschlagen, das hat aber niemand verstanden.
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{-1*(n-k+1)}{k}]=\bruch{\produkt_{k=1}^{n}[-1*(k-n-1)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=\bruch{(-1)^{n}*\produkt_{k=1}^{n}[(k-n-1)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=(-1)^{n}*\bruch{\produkt_{k=1-n-1}^{n-n-1}[(k)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=(-1)^{n}*\bruch{\produkt_{k=-n}^{-1}[(k)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}[/mm]
Hallo,
bereits der erste Schritt mit dem Herausziehen des Faktors [mm] (-1)^n [/mm] ist für alle ungeraden n falsch.
Überlege dir doch mal die Struktur des Produkts.
Im Zähler werden alle Werte von (n-1+1) bis (n-n+1) - das sind die Zahlen von n bis 1 - multipliziert.
Im Nenner multipliziert man 1 bis n - also das Gleiche in umgekehrter Reihenfolge. Alles kürzt sich weg.
Wenn du es unbedingt "wissenschaftlich" machen willst, kannst du vollständige Induktion betreiben (wobei eine Indexverschiebung nötig ist).
Gruß Abakus
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> [mm]\mbox{Da }n\in\IN\mbox{ gilt für}[/mm]
> [mm]n\in\{2, 4, 6, ...\}\mbox{, dass }\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=1*\bruch{\produkt_{k=1}^{n}(k)}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=1 \mbox{ q. e. d.}[/mm]
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> [mm]n\in\{1, 3, 5, ...\}\mbox{, dass }\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=(-1)*\bruch{-\produkt_{k=1}^{n}(k)}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=1 \mbox{ q. e. d.}[/mm]
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> Ist das ok so? Durfte ich das Minus als [mm](-1)^{n}[/mm] einfach
> herausziehen bzw. gibt es dafür eine Regel? Habe es nur
> durch logisches Denken erschlossen...
>
> Wie kann ich das ganze noch "hochschultauglicher"
> schreiben, also möglichst ganz ohne Wörter?
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Fr 11.09.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
nein, Induktion sollten wir hier nicht verwenden, sondern nur die Terme umformen... Warum ist das Herausziehen falsch? Für gerade bzw. ungerade n muss oben etwas positives bzw. negatives stehen.
Habe gerade auch gelesen, dass man einen Faktor aus einer Produktsumme ziehen kann, solange man ihn hoch die Anzahl der Elemente in der Produktsumme nimmt (da k=1 in diesem Fall n Elemente).
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Fr 11.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> nein, Induktion sollten wir hier nicht verwenden, sondern
> nur die Terme umformen...
Ja, damit geht das auch am einfachsten.
> Warum ist das Herausziehen falsch?
Warum sollte es richtig sein? Das muesstest du erstmal begruenden.
Wenn du es rausziehst, muss da anderswo ein $-1$ wieder auftauchen, etwa [mm] $\prod_{k=1}^n \frac{n - k + 1}{k} [/mm] = [mm] \prod_{k=1}^n \left[ (-1) \frac{-(n - k + 1)}{k} \right]$. [/mm] Aber wozu sollte man das machen?
Schreib doch mal [mm] $\prod_{k=1}^n \frac{n - k + 1}{k} [/mm] = [mm] \frac{\prod_{k=1}^n (n - k + 1)}{\prod_{k=1}^n k}$.
[/mm]
Jetzt schau dir [mm] $\prod_{k=1}^n [/mm] (n - k + 1)$ an. Da wird doch $n - 1 + 1 = n$, $n - 2 + 1 = n - 1$, [mm] \dots, [/mm] $n - (n - 1) + 1 = 2$, $n - n + 1 = 1$ zusammenmultipliziert -- also gerade $1, 2, [mm] \dots, [/mm] n-1, n$!
Um es deutlicher zu machen: mache eine Index-"Umkehrung", sprich ersetze $k$ durch $j = n - k + 1$. Wenn $k$ alle Werte von $1$ bis $n$ durchlaeuft, dann durchlaeuft $j$ ebenfalls alle Werte von $1$ bis $n$. Also gilt [mm] $\prod_{k=1}^n [/mm] (n - k + 1) = [mm] \prod_{j=1}^n [/mm] j$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 12.09.2009 | | Autor: | oli_k |
Warum sollte es richtig sein? Das muesstest du erstmal begruenden.
Wenn du es rausziehst, muss da anderswo ein -1 wieder auftauchen
Im Schritt danach habe ich es so gemacht. Sorry, habe einfach falsch abgetippt. Korrigiere es eben. Somit stimmt das Umformen also doch...
Was ist im weiteren Verlauf dann nicht korrekt? Meiner Meinung nach ist das alles ok...
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:44 Mi 16.09.2009 | | Autor: | oli_k |
Keiner, der was dazu sagen kann? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:07 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo [mm] oli_k,
[/mm]
> Meine Lösung:
> $ [mm] \produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{-1\cdot{}(k-n-1)}{k}]=\bruch{\produkt_{k=1}^{n}[-1\cdot{}(k-n-1)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=\bruch{(-1)^{n}\cdot{}\produkt_{k=1}^{n}[(k-n-1)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=(-1)^{n}\cdot{}\bruch{\produkt_{k=1-n-1}^{n-n-1}[(k)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=(-1)^{n}\cdot{}\bruch{\produkt_{k=-n}^{-1}[(k)]}{\produkt_{k=1}^{n}(k)} [/mm] $
> $ [mm] \mbox{Da }n\in\IN\mbox{ gilt für} [/mm] $
> $ [mm] n\in\{2, 4, 6, ...\}\mbox{, dass }\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=1\cdot{}\bruch{\produkt_{k=1}^{n}(k)}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=1 \mbox{ q. e. d.} [/mm] $
> $ [mm] n\in\{1, 3, 5, ...\}\mbox{, dass }\produkt_{k=1}^{n}[\bruch{n-k+1}{k}]=(-1)\cdot{}\bruch{-\produkt_{k=1}^{n}(k)}{\produkt_{k=1}^{n}(k)}=1 \mbox{ q. e. d.} [/mm] $
Da [mm] $n\in\mathbb{N}$, [/mm] sind im Produkt [mm] $\produkt_{k=-n}^{-1}k$ [/mm] alle $n$ Faktoren negativ, d.h. [mm] $\produkt_{k=-n}^{-1}k=\produkt_{k=1}^{n}-k=(-1)^n \produkt_{k=1}^{n}k$. [/mm]
So in etwa würde ich das schreiben.
Aber warum benutzt du nicht den Tip von felixf und machst gleich einen Indexwechsel, anstatt erst ein [mm] $(-1)^n$ [/mm] rauszuziehen, um dann ein weiteres [mm] $(-1)^n$ [/mm] zu "suchen", damit es sich wegkürzt?
> Wie kann ich das ganze noch "hochschultauglicher" schreiben, also möglichst ganz ohne Wörter?
In einem (Hochschul-)Beweis dürfen sehr wohl Wörter vorkommen! Manchmal lassen sich die Aussagen hochkomplizierter Formeln mit wenigen Worten besser ausdrücken/veranschaulichen. Deswegen ist der Beweis nicht weniger "mathematisch".
Lieben Gruß,
Fulla
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