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| Aufgabe | Seien F1, F2 Korrespondenzen aus A in B und G eine Korrspondenz aus B in C.
Man Zeige: Gilt F1 [mm] \subseteq [/mm] F2, so ist
a)F1 [mm] \circ [/mm] G [mm] \subseteq [/mm] F2 [mm] \circ [/mm] G
b)F1^-1 [mm] \subseteq [/mm] F2^-1. |
Hallo,
ich hab da mal wieder ne Frage.
Es geht darum das ich bei dieser Aufgabe nicht weiter weiß, bzw ich keinen Ansatz finde die Aufgabe zu lösen.
Könnte mir eventuell jemand auf die Sprünge helfen und sagen wie ich Anfangen soll?
Danke und beste Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Blitzmerker,
> a)F1 [mm]\circ[/mm] G [mm]\subseteq[/mm] F2 [mm]\circ[/mm] G
Sicherlich ist hier [mm] $G\circ F1\subseteq G\circ [/mm] F2$ gemeint.
> Es geht darum das ich bei dieser Aufgabe nicht weiter
> weiß, bzw ich keinen Ansatz finde die Aufgabe zu lösen.
>
> Könnte mir eventuell jemand auf die Sprünge helfen und
> sagen wie ich Anfangen soll?
Schreibe dir die Definitionen von [mm] $F1\circ [/mm] G$, [mm] $F2\circ [/mm] G$, [mm] $F1^{-1}$ [/mm] und [mm] $F2^{-1}$ [/mm] auf.
Dann zeige die behaupteten Teilmengenbeziehungen, indem du jeweils ein Element der einen Menge hernimmst und zeigst, dass es auch in der anderen Menge liegen muss.
Viele Grüße
Tobias
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Die Antwort war aber fix. ;)
Ich hab mir mal die Definitionen angeschaut und versucht etwas draus zu Basteln.
Was mir noch nicht recht gelingen will.
Jedenfalls ist ja F1 aus A in B [mm] \gdw [/mm] F [mm] \subseteq [/mm] A x B,
in Mengen Ausgedrückt A{0,1,2} B{a,b} eine Korrespondez F wäre z.B {(1,a),(2,b)}
B [mm] \subseteq [/mm] F wäre dann [mm] F\B [/mm] also wieder A und umgedreht.
Eine Verknüpfung F [mm] \circ [/mm] G = {(a,c):Eb [mm] \in [/mm] B mit (a,b)eF [mm] \cap [/mm] (b,c) e G} laut Definition---> ich sag einfach mal das mit hier aber nicht näher drauf eingehen muss.
Denn meiner Meinung nach müsste ja F1 das gleiche wie F2 sein, wenn man davon ausgeht das ja beide Korrespondenzen aus A in B sind. Deshalb auch für beide gilt F1 [mm] \subseteq [/mm] F2 ---> beides Verknüpft dürfte dies ja nicht ändern und es müsste also immer noch gelten.
Analog Aufgabe b) F1^-1 [mm] \subseteq [/mm] F2^-2
F^-1 = {(b,a) | (a,b) [mm] \in [/mm] F}
Quasi nur das Inverse, in Bezug auf das Beispiel oben wäre das ja dann F1^-1 {(a,1),(b,2)}
Allerdings weiß ich immer noch nicht genau wie ich das nun verständlich in mit ein paar Zahlen aufs Papier bringen soll.
Kann ich nun einfach in den Definitionen Zahlen einsetzen und dies jeweils Gegenüberstellen wenn ich Zeigen soll das ein Element aus ... später noch in der anderen Menge zu finden ist.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Jedenfalls ist ja F1 aus A in B [mm]\gdw[/mm] F [mm]\subseteq[/mm] A x B,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> in Mengen Ausgedrückt [mm] A[red]=[/red]$\{$0,1,2$\}$ B[red]=[/red]$\{$a,b$\}$ [/mm] eine Korrespondez F
> wäre z.B [mm] $\{$(1,a),(2,b)$\}$
[/mm]
>
> B [mm]\subseteq[/mm] F wäre dann [mm]F\B[/mm] also wieder A und umgedreht.
B enthält in deinem Beispiel die Elemente a und b, die keine Paare sind. Also kann nicht [mm] $B\subseteq [/mm] F$ gelten.
> Eine Verknüpfung F [mm]\circ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G = $\{$(a,c):Eb [mm]\in[/mm] B mit (a,b)eF
> [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(b,c) e G$\}$ laut Definition---> ich sag einfach mal das
> mit hier aber nicht näher drauf eingehen muss.
Das ist die Definition von $G\circ F$, nicht von $F\circ G$, oder? Sonst würdet ihr genau andersherum verketten als üblich.
> Denn meiner Meinung nach müsste ja F1 das gleiche wie F2
> sein, wenn man davon ausgeht das ja beide Korrespondenzen
> aus A in B sind.
Nein. Es gibt i.A. verschiedene Korrespondezen von A in B. In deinem Beispiel für A und B gibt es z.B. noch die Korrespondenzen $\emptyset$ und $A\times B$.
> Deshalb auch für beide gilt F1 [mm]\subseteq[/mm]
> F2 ---> beides Verknüpft dürfte dies ja nicht ändern und
> es müsste also immer noch gelten.
Wenn F1 tatsächlich gleich F2 WÄRE, könntest du so argumentieren.
> Analog Aufgabe b) F1^-1 [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
F2^-2
>
> F^-1 = $\{$(b,a) | (a,b) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
F$\}$
> Quasi nur das Inverse, in Bezug auf das Beispiel oben
> wäre das ja dann F1^-1={(a,1),(b,2)}
>
> Allerdings weiß ich immer noch nicht genau wie ich das nun
> verständlich in mit ein paar Zahlen aufs Papier bringen
> soll.
> Kann ich nun einfach in den Definitionen Zahlen einsetzen
> und dies jeweils Gegenüberstellen wenn ich Zeigen soll das
> ein Element aus ... später noch in der anderen Menge zu
> finden ist.?
Damit hättest du nur Spezialfälle bewiesen.
Fangen wir mal mit b) an:
Sei $x\in F1^{-1}$. Zu zeigen ist: $x\in F2^{-1}$.
$x\in F1^{-1}$ bedeutet, dass x die Gestalt hat $x=(b,a)$ für ein $a\in A$ und ein $b\in B$ mit $(a,b)\in F1$.
Da $F1\subseteq F2$ folgt aus $(a,b)\in F1$, dass...
Also $x=(b,a)\in\ldots$
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Ich Danke ersteinmal für die Hilfe,
die Definitionen hab ich jetzt auf jedenfalls drauf. ;)
Aber so ganz bin ich noch nicht dahinter gestiegen, ich spare mir jetzt einfach mal das Rätseln und heb mir den Rest für die morgige Übung dazu auf.
Übrigens laut meiner Vorlesungsaufzeichnungen ist F [mm] \circ [/mm] G tatsächlich so definiert wie ich es zuvor geschrieben hatte.
Aber das bring ich morgen auch noch in Erfahrung ob das vom üblichen Abweicht. Bekanntlich hat das jeder Professor so seine Sonderlichkeiten.
Ich wünsche noch einen angenehmen Abend.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Übrigens laut meiner Vorlesungsaufzeichnungen ist F [mm]\circ[/mm]
> G tatsächlich so definiert wie ich es zuvor geschrieben
> hatte.
> Aber das bring ich morgen auch noch in Erfahrung ob das
> vom üblichen Abweicht. Bekanntlich hat das jeder Professor
> so seine Sonderlichkeiten.
Frag ihn mal, ob das nicht [mm] $G\circ [/mm] F$ heißen sollte.
> Ich wünsche noch einen angenehmen Abend.
Dir auch, danke! 
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