Kovarianz, Würfelaufgabe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 13.03.2011 | | Autor: | kaoh |
| Aufgabe 1 | An einer Krankheit leiden im Mittel 4 von 100 Bürgern. Zur Diagnose dieser Krankheit wird ein Test durchgeführt, der mit der Wahrscheinlichkeit 0,96 positiv ausfällt, wenn die untersuchte Person tatsächlich erkrankt ist; bei einer gesunden Person fällt der Test mit der Wahrscheinlichkeit 0,99 negativ aus.
b) Bestimmen Sie die Kovarianz der Zufallsvariablen Test
T [mm] \hat= [/mm] "Test fällt positiv aus"
und Gesundheit
G [mm] \hat= [/mm] "Person ist krank" |
| Aufgabe 2 | In einem Behälter befinden sich ein idealer Würfel [mm] W_1, [/mm] sowie zwei Würfel [mm] W_2 [/mm] und [mm] W_3, [/mm] bei denen zwar jede der Seiten bei einem Wurf mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt, jedoch drei Seiten von [mm] W_2 [/mm] die Zahlen 2,4 und alle Seiten von [mm] W_3 [/mm] die Zahl 2 zeigen. Es wird zufällig ein Würfel entnommen.
a) Dieser Würfel wird einmal geworfen. Berechnen Sie die erwartete Augenzahl.
b) Dieser Würfel wird n-mal geworfen, und dabei fällt jedes Mal eine 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel [mm] W_i(i=1,2,3) [/mm] entnommen wurde.
Anmerkung: zweistufiges Experiment |
Bei Aufgabe 1a war nach P(G|T) gefragt. hab da 0,3184 raus. aber das ist nicht interessant.
Meine Frage zu Aufgabe 1b)
kommt das hin? Oder wird die Kovarianz anders berechnet?
gegeben:
P(T|G)=0,96
[mm] P(\overline{T}|G)=0,04
[/mm]
[mm] P(\overline{T}|\overline{G})=0,99
[/mm]
[mm] P(T|\overline{G})=0,01
[/mm]
gesucht:
Cov(T,G)
meine Rechnung:
Cov(T,G) = (0-0,04)*(0-0,96)*0,99 + (0-0,44)*(1-0,96)*0,01 + (0-0,04)*(0-0,96)*0,04 + (1-0,04)*(1-0,96)*0,96 = 0,038
Meine Frage zu Aufgabe 2:
a) ist klar:
[mm] EW_1 [/mm] = 3,5
[mm] EW_2 [/mm] = 3
[mm] EW_3 [/mm] = 2
EW_gesamt = 17/6
b) Hier brauche ich Hilfe. Wer kann mir nen Tipp geben?
Diese Fragen habe ich nur in diesem Forum gestellt. Danke schon mal für die Hilfe!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 14.03.2011 | | Autor: | kaoh |
zu Aufgabe 2b)
hat das evtl etwas mit bernoulli ketten zutun?
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Hallo,
> zu Aufgabe 2b)
>
> hat das evtl etwas mit bernoulli ketten zutun?
Man könnte einen Teil der Aufgabe so interpretieren, aber das ist unnötig. Hier mal ein Baumdiagramm:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und hier sind die Wahrscheinlichkeiten eingetragen, die gesucht sind:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit Hilfe der Rechnungen über bedingte Wahrscheinlichkeit solltest du nun eigentlich die Fragenzeichen berechnen können.
Viele Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 15.03.2011 | | Autor: | kaoh |
danke allen für die hilfe. ich erkenne einen zusammenhang zur antwort von luis52, meine ich zumindest :)
$ [mm] P((Z=z)\cap A_i)=P(Z=z\mid A_i)P(A_i) [/mm]
= [mm] \bruch{P(A_i\mid Z=z) * P(Z=z) * P(A_i)}{P(A_i)} [/mm] $
bekomme ich [mm] P((Z=z)\cap A_i) [/mm] aus dem ersten baumdiagramm abgelesen? mist muss jetzt arbeiten. über weitere tipps bin auch ich sehr dankbar! möchte endlich die aufgabe gelöst bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Di 15.03.2011 | | Autor: | luis52 |
@Stefan: Kannst du bitte uebernehmen. Baeume liegen mir nicht.
vg Luis
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Hallo,
> danke allen für die hilfe. ich erkenne einen zusammenhang
> zur antwort von luis52, meine ich zumindest :)
Genau, schließlich geht es bei 2a) auch um bedingte Wahrscheinlichkeiten / Formel von Bayes. Allerdings brauchst du hier nicht mehr Zufallsvariablen einzuführen.
Nennen wir einfach wie schon bei a):
[mm] A_i [/mm] das Ereignis, dass der Würfel [mm] W_i [/mm] gezogen wird.
B das Ereignis, dass n-mal hintereinander eine 2 gewürfelt wird.
Dann sind folgende Wahrscheinlichkeiten gesucht:
[mm] P(A_i [/mm] | B) = Wahrscheinlichkeit, dass der i-te Würfel gezogen wurde, wenn n-mal hintereinander eine 2 gewürfelt wurde.
------
Du kennst aus dem Baumdiagramm schon:
[mm] P(A_i) [/mm] = 1/3
P(B | [mm] A_i) [/mm] = Wahrscheinlichkeit, dass n-mal hintereinander 2 gewürfelt wird, wenn i-ter Würfel gezogen wurde (Abzulesen an den unteren Pfaden des ersten Baumdiagramms)
Nun kannst du im Grunde einfach wieder in die Formel von Bayes einsetzen. Die Baumdiagramme sollten nur zur Verdeutlichung dienen, damit du weißt wie du die Formel anwenden sollst.
$P( [mm] A_i [/mm] | B) = [mm] \frac{P(B | A_i) * P(A_i)}{P(B)}$
[/mm]
Nun fehlt noch $P(B)$ ( das kennen wir noch nicht ), dass kann man mit Hilfe der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen:
$P(B) = P(B | [mm] A_1)*P(A_1) [/mm] + P(B | [mm] A_2)*P(A_2) [/mm] + P(B | [mm] A_3)*P(A_3)$
[/mm]
Um den Bezug zum Baumdiagramm herzustellen: Mit $P(B)$ haben wir das obere Fragezeichen berechnet. Mit [mm] $P(A_i [/mm] | B)$ haben wir die drei unteren Fragezeichen berechnet.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mi 16.03.2011 | | Autor: | kaoh |
Wuhu! Habs verstanden! Hier noch mal das Ergebnis. Ja ich habs geschafft die passenden Zahlen einzusetzen :)
$ P( [mm] A_1 [/mm] | B) = [mm] \frac{(1/6)^n}{(1/6)^n + (1/2)^n + 1} [/mm] $
$ P( [mm] A_2 [/mm] | B) = [mm] \frac{(1/2)^n}{(1/6)^n + (1/2)^n + 1} [/mm] $
$ P( [mm] A_3 [/mm] | B) = [mm] \frac{ 1 {}}{(1/6)^n + (1/2)^n + 1} [/mm] $
Noch mal einen riesen Dank euch beiden!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mo 14.03.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
sei $Z_$ die geworfene Augenzahl. Sie kann die Werte $z=1,2,3,4,5,6_$
annehmen. Du brauchst zur Bestimmmung von [mm] $\text{E}[Z]$ [/mm] die Verteilung
von $Z_$, also $P(Z=z)_$. Sei [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis, dass [mm] $W_i$ [/mm] gezogen wird.
Es gilt
[mm] $P(Z=z)=P((Z=z)\cap(A_1\cup A_2\cup A_3))=\ldots$ [/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 14.03.2011 | | Autor: | kaoh |
Ich komm nicht drauf wie ich das weiterrechnen soll. Wie kann man denn (Z=z) mit der Vereinigung der Ereignisse [mm] A_i [/mm] schneiden?
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] P((Z=z)\cap A_1) [/mm] + [mm] P((Z=z)\cap A_2) [/mm] + [mm] P((Z=z)\cap A_3) [/mm]
= [mm] P(Z=z)*P(A_1) [/mm] + [mm] P(Z=z)*P(A_2) [/mm] + [mm] P(Z=z)*P(A_3)$ [/mm] ?
aber bringt mich das weiter? :/
Wofür brauch ich außerdem den Erwartungswert von Z? Und wie berücksichtigt man, dass es n-maliges Würfeln ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Di 15.03.2011 | | Autor: | luis52 |
> Ich komm nicht drauf wie ich das weiterrechnen soll. Wie
> kann man denn (Z=z) mit der Vereinigung der Ereignisse [mm]A_i[/mm]
> schneiden?
>
> [mm]$\ldots[/mm] = [mm]P((Z=z)\cap A_1)[/mm] + [mm]P((Z=z)\cap A_2)[/mm] + [mm]P((Z=z)\cap A_3)[/mm]
> = [mm]P(Z=z)*P(A_1)[/mm] + [mm]P(Z=z)*P(A_2)[/mm] + [mm]P(Z=z)*P(A_3)$[/mm] ?
> aber bringt mich das weiter? :/
Gar nicht, denn es ist falsch. Die Rechnung waere korrekt, wenn die Ereignisse unabhaengig waeren. Vielmehr gilt [mm] $P((Z=z)\cap A_i)=P(Z=z\mid A_i)P(A_i)$.
[/mm]
>
> Wofür brauch ich außerdem den Erwartungswert von Z?
Na es geht doch um die erwartete Augenzahl, oder?
> Und wie berücksichtigt man, dass es n-maliges Würfeln ist.
Gemach. Ein Schritt nach dem anderen.
vg Luis
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