Kovarianzmatrix-Schätzer < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Di 30.11.2010 | | Autor: | vewo |
| Aufgabe | Wir betrachten das statistische Modell mit n u.i.v. [mm] \IR^{k x 1}-wertigen [/mm] normalverteilten Zufallsvariablen: [mm] X_{i} [/mm] ~ [mm] N(\beta, [/mm] V), (i=1,..,n), wobei [mm] (\beta, [/mm] V) [mm] \in \IR^{k x 1} [/mm] x PD(k) der Parameter ist; (PD(k) bezeichne die Menge aller positiv definiten k x k Matrizen und PSD(k) die Menge aller positiv semi-definiten k x k-Matrizen). Betrachte die Statistik
[mm] R(x)=\summe_{i=1}^{n} (x_{i}-\overline{x}) (x_{i}-\overline{x})^{t} [/mm] , [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^{k x n}, [/mm] wobei overline{x}=1/n [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] .
Zeigen Sie:
(a) R(x) [mm] \in [/mm] PSD(k) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{k x n}.
[/mm]
(b) [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] R ist erwartungstreuer Schätzer für V. (n>1 vorausgesetzt).
(c) Wenn n<=k, dann R(x) [mm] \in PSD(k)\setminus [/mm] PD(k) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{k x n}.
[/mm]
(d) Wenn n>k, dann R(x) [mm] \in [/mm] PD(k) [mm] \lambda^{kn}-fast [/mm] sicher.
Hinweis zu (d): Vollständige Induktion nach k; [mm] \lambda ^{kn}=\lambda^n \otimes [/mm] ... [mm] \otimes \lambda^{n} [/mm] (k-faches Produkt). R(x) singulär [mm] \gdw [/mm] die Zeilen der Matrix [mm] (x_{1}-\overline{x},...,x_{n}-\overline{x}) [/mm] sind linear abhängig. |
Hallo,
b und c habe ich bis jetzt zeigen können. Bei a ist symmetrie und k x k-Matrix klar. Wie kann ich jetzt sehen, dass diese Matrix positiv semidefinit ist, wenn ich [mm] y^{t} [/mm] R y ausrechnen möchte, sehe ich nicht wie ich das so zusammenfassen kann, damit ich die Behauptung zeigen kann.
Danke schon mal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Di 30.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin vewo,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wo ist das Problem?
$ [mm] y^tR(x)y=\summe_{i=1}^{n} y^t(x_{i}-\overline{x})(x_{i}-\overline{x})^{t}y=\summe_{i=1}^{n} (y'(x_{i}-\overline{x}))^2\ge0$.
[/mm]
vg Luis
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