Kovarianzmatrix bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 13.05.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | | Sei [mm] X=(X_{1},X_{2})^{t} [/mm] ein Zufallsvektor (normalverteilt) mit Erwartungswert [mm] \mu=(1,1)^{t} [/mm] und Kovarianzmatrix [mm] \summe=\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 4 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] und [mm] c=(2,2)^{t}. [/mm] Bestimmen Sie die Kovarianzmatrix und den Erwartungswert von Y=BX+c, sowie die explizite Form der Dichte von Y. |
Hallo liebes Forum!
Bei dieser Aufgabe habe ich einige Problemchen. Es scheitert schon bei der Bestimmung der Kovarianzmatrix:
Meine Gedanken:
[mm] E(Y)=E(BX+c)=B*E(X)+c=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }*\vektor{1 \\ 1}+\vektor{2 \\ 2}=\vektor{2 \\ 4}
[/mm]
Also [mm] E(Y_{1})=2 [/mm] und [mm] E(Y_{2})=4
[/mm]
Weiter hat die Kovarianzmatrix ja die Form: [mm] \pmat{ var(Y_{1}) & covar(Y_{1},Y_{2}) \\ covar(Y_{2},Y_{1}) & var(Y_{2}) }
[/mm]
Nun wollte ich die Einträge wie folgt ermitteln:
[mm] var(Y_{1})=covar(Y_{1},Y_{1})=E(Y_{1}^{2})-4
[/mm]
[mm] cov(Y_{1},Y_{2})=cov(Y_{2},Y_{1})E(Y_{1}*Y_{2})-8
[/mm]
[mm] var(Y_{2})=covar(Y_{2},Y_{2})=E(Y_{2}^{2})-16
[/mm]
Würdet ihr genauso vergehen? Wie kann ich die Kovarianzmatrix bestimmen? Ich steh ein wenig auf dem Schlauch!
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo,
für Kovarianzmatrizen gelten folgende Rechenregeln:
Falls $X [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors X ist, so ergibt sich die Kovarianzmatrix von $AX$ durch
[mm] $Cov\left(AX\right)=A\cdot Cov\left(X\right)\cdot A^{T}$
[/mm]
Weiter gilt für $b [mm] \in \IR^{n}$:
[/mm]
[mm] $Cov\left(X+b\right)=Cov\left(X\right)$
[/mm]
Versuch mal, damit die Aufgabe zu rechnen
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 13.05.2013 | | Autor: | johnny23 |
Ok! Vielen Dank!
Also:
[mm] cov(BX)=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & 4 }\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }=\pmat{ 12 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
weiter ist cov(BX+c)=cov(BX) und damit ist [mm] cov(Y)=cov(BX+c)=\pmat{ 12 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
Korrekt?
Also bliebe nur noch die Bestimmung der expliziten Form der Dichte von Y.
Wie kann ich diese bestimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mo 13.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, ![[]](/images/popup.gif) da schau her.
vg Luis
|
|
|
|
