Kraftfeld Erde-Mond < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Koordinatensystem sei so gewählt, dass sich die Erde mit Masse [mm] M_{1} [/mm] am Ort [mm] r_{1} [/mm] = (0,0,0.9d) und der Mond mit Masse [mm] M_{2} [/mm] am Ort [mm] r_{2} [/mm] = (0,0,-0.1d) befindet (d sei hierbei die momentane Distanz zwischen Erde und Mond). Der Ursprung liegt bei einem Verhältnis [mm] M_{1} [/mm] : [mm] M_{2} [/mm] = 1 : 81 im abraischen, d.h. schwerelosen Punkt.
Die von den Massen [mm] M_{i} [/mm] auf eine Probemasse m am Ort r wirkenden Gravitationskräfte sind durch [mm] F_{i} [/mm] = [mm] -\gamma [/mm] m [mm] M_{i}\bruch{r - r_{i}}{|r - r_{i}|^{3}} [/mm] gegeben.
Aufgabe
Eine Entwicklung des Kraftfelds um den Ursprung in linearer Ordnung in x, y und z ergibt F = A(-x, -y, [mm] \beta [/mm] z). Bestimmen Sie die Konstanten A und [mm] \beta. [/mm] |
Hallo,
leider habe ich die Aufgabe wohl nicht ganz durchschaut. Zuerst habe ich mir überlegt, dass ich F = [mm] F_{1} [/mm] + [mm] F_{2} [/mm] setzen und aus diese Gleichung A und [mm] \beta [/mm] erhalten kann, was allerdings nicht funktioniert.
Für Ansätze und Ideen wäre ich sehr dankbar!
Gruß Tim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 12.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was genau hast du denn gemacht? eigentlich sollte dein ansatz klappen!
zur Probe, wenn du auf der Verbindungslinie x=y=0 bleibst solltest du [mm] A*\beta [/mm] direkt bestimmren können , dann ein Punkt (x,0,0) oder (0,y,0) um A zu bestimmen.
Gruss leduart
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Ok, ich habe es nochmal versucht, scheitere jedoch kläglich. Sagen wir einfach, ich betrachte nur die z-Komponente des Vektors und erstelle die Gleichung F = [mm] F_{1} [/mm] + [mm] F_{2}
[/mm]
Dann erhalte ich:
[mm] A*\beta*z [/mm] = - [mm] \gamma*m*M_{1} \bruch{z-0,9d}{\wurzel{(z-0,9d)^{2}}^{3}} [/mm] - [mm] \gamma*m*M_{2} \bruch{z+0,1d}{\wurzel{(z+0,1d)^{2}}^{3}}
[/mm]
[mm] A*\beta*z [/mm] = - [mm] \gamma*m*M_{1} \bruch{1}{(z-0,9d)^{2}} [/mm] - [mm] \gamma*m*M_{2} \bruch{1}{(z+0,1d)^{2}}
[/mm]
Wenn ich das ganze nun versuche nach [mm] A*\beta [/mm] aufzulösen und dabei ausnutze, dass [mm] M_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{81} M_{1} [/mm] ist, bekomme ich folgende Gleichung:
[mm] A*\beta [/mm] = - [mm] \gamma*m*M_{1} \bruch{80z^{2}+18dz}{81z^{4}-129,6dz^{3}+37,26d^{2}z^{2}+11,664d^{3}z+0,6561d^{4}}
[/mm]
Spätestens an dieser Stelle bin ich dann überfragt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst doch die lineare Näherung betrachten, linera Näherung von f(x) [mm] l=f(x_0)*f'(x_0)*(x-x_0) [/mm] bei dir [mm] x_0=0 [/mm] f(0)=0
nimm lieber die nicht zusammengefasste Gl oder vereinfach sie noch
Gruss leduart
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Ok, also ich habe ja:
f(x) = [mm] -\gamma*m*M_{i}\bruch{x-x_{i}}{\wurzel{(x-x_{i})^{2}}^3}
[/mm]
= [mm] -\gamma*m*M_{i}\bruch{1}{(x-x_{i})^{2}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \gamma*m*M_{i}\bruch{2}{(x-x_{i})^{3}}
[/mm]
=> l = f(0) + f'(0) * (x-0)
= [mm] -\gamma*m*M_{i}\bruch{1}{x_{i}^{2}}+\gamma*m*M_{i}\bruch{2}{-x_{i}^{3}}
[/mm]
z-Komponente:
F = [mm] A*\beta*z [/mm] = [mm] -\gamma*m*M_{1}\bruch{1}{0,81d^{2}}+\gamma*m*M_{1}\bruch{2}{-0,729d^{2}}*z-\gamma*m*M_{2}\bruch{1}{0,01d^{2}}+\gamma*m*M_{2}\bruch{2}{0,001d^{2}}*z
[/mm]
= [mm] -\gamma*m*81*M_{2}\bruch{1}{0,81d^{2}}+\gamma*m*81*M_{2}\bruch{2}{-0,729d^{2}}*z-\gamma*m*M_{2}\bruch{1}{0,01d^{2}}+\gamma*m*M_{2}\bruch{2}{0,001d^{2}}*z
[/mm]
= [mm] -\gamma*m*M_{2}\bruch{100}{d^{2}}-\gamma*m*M_{2}\bruch{2000}{9d^{2}}*z-\gamma*m*M_{2}\bruch{100}{d^{2}}+\gamma*m*M_{2}\bruch{2000}{d^{2}}*z
[/mm]
= [mm] -\gamma*m*M_{2}\bruch{200}{d^{2}}+\gamma*m*M_{2}\bruch{16000}{9d^{2}}*z
[/mm]
=> [mm] A*\beta [/mm] = [mm] -\gamma*m*M_{2}\bruch{200}{d^{2}*z}+\gamma*m*M_{2}\bruch{16000}{9d^{2}}
[/mm]
Ist das so richtig? Und wenn ja... was nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok, also ich habe ja:
>
> f(x) =
> [mm]-\gamma*m*M_{i}\bruch{x-x_{i}}{\wurzel{(x-x_{i})^{2}}^3}[/mm]
> = [mm]-\gamma*m*M_{i}\bruch{1}{(x-x_{i})^{2}}[/mm]
> f'(x) = [mm]\gamma*m*M_{i}\bruch{2}{(x-x_{i})^{3}}[/mm]
>
> => l = f(0) + f'(0) * (x-0)
besser [mm] f(x)\approx [/mm] l(x)=...
> =
> [mm]-\gamma*m*M_{i}\bruch{1}{x_{i}^{2}}+\gamma*m*M_{i}\bruch{2}{-x_{i}^{3}}[/mm]
hier fehlt *x
> z-Komponente:
>
> F = [mm]A*\beta*z[/mm] =
> [mm]-\gamma*m*M_{1}\bruch{1}{0,81d^{2}}+\gamma*m*M_{1}\bruch{2}{-0,729d^{2}}*z-\gamma*m*M_{2}\bruch{1}{0,01d^{2}}+\gamma*m*M_{2}\bruch{2}{0,001d^{2}}*z[/mm]
die Rechnung ist mir zu unübersichtlich es ist doch [mm] F_z(0)=0 [/mm] warum schreibst du das dann noch hin?
dann bleibt doch nur [mm] \gamma*m*M(\bruch{1}{(0.9d)^{3}}-81*\bruch{1}{(0,1d)^{3}})*z
[/mm]
rechne nochmal nach ! [mm] d^3 [/mm] im nenner muss auf jeden Fall
x und y sind symetrisch, d,h, es reicht in der z-x-Ebene zu rechnen, da mach für [mm] F_x(x,0,0) [/mm] ne Zeichnung und lies es ab.
Gruss leduart
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