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| Aufgabe | Welcher Kreis berührt beide Koordinatenachsen und geht durch den Punkt P?
P(4|2) |
Hallo,
Also ich verstehe diesen Aufgabentyp nicht richtig..und hab jetzt mal exemplarisch diesen Punkt gewählt. vielleicht könnte mir mal jemand die vorgehensweise da erklären! damit wäre mir sehr geholfen!
viele grüße
informacao
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> Welcher Kreis berührt beide Koordinatenachsen und geht
> durch den Punkt P?
> P(4|2)
> Hallo,
>
> Also ich verstehe diesen Aufgabentyp nicht richtig..und hab
> jetzt mal exemplarisch diesen Punkt gewählt.
Da ist auch gleich das Problem: Für diesen Punkt existiert kein solcher Kreis (vorausgesetzt der Punkt soll der Mittelpunkt sein des Kreises sein, sonst gibt es immer einen). Wenn du dir das mal aufzeichnest, stellst du schnell fest, dass diese Bedingung nur für Punkte auf den beiden Winkelhalbierenden (des Koordinatensystems) erfüllbar ist.
Du weisst der Abstand des Punktes zu einer Koordinatenachse ist gleich dem Radius des Kreises (sonst berührt dieser ja die Achse nicht). Da aber der Radius konstant ist (sonst wäre es kein Kreis), ist dies auch der Abstand zur anderen Koordinatenachse. Daraus folgt die obige Bedingung an den (geg.) Punkt.
> vielleicht
> könnte mir mal jemand die vorgehensweise da erklären! damit
> wäre mir sehr geholfen!
Man zieht den Schluss: Die Sache mal aufzeichnen, d.h. einen Kreis zeichnen der so eine Bed. erfüllt (ohne genaue Koordinaten). Dabei kannst du natürlich zuerst den Kreis zeichnen und danach das Koord.-System einpassen. Die Bed. an den Radius aufstellen und dann daraus und dem geg. Punkt die Kreisgleichung aufstellen (wenn du denn musst).
>
> viele grüße
> informacao
Tschüss
EvenSteven
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Hi!
danke für die ausführliche antwort.
Also ich habe bei dieser Aufgabe 3 Punkte gegeben:
1. P(4/2)
2. P(-6/3)
3.P(5/-10)
Jetzt habe ich mir das mal hingezeichnet - so ungefähr -wenn ich die aufgabenstellung richtig verstanden habe.... und ich glaube, dass das nur mit P3 geht, oder?
Naja, aber wie ist da jetzt die Lösung? Was muss ich da machen??
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Informacao!
es gibt zu jedem punkt einen kreis, der durch diesen punkt geht und beide koordinatenachsen berührt! (die koordinatenachsen selbst mal ausgeschlossen) eigentlich gibt es sogar 2 kreise zu jedem punkt...
was EvenSteven wohl meinte (und damit auch völlig recht hat) ist, dass der mittelpunkt des kreises auf den winkelhalbierenden des koord.systems liegen muss.
am einfachsten kannst du dir geometrisch überlegen, wie der kreis liegen muss. zum beispiel bei (4;2) ist der mittelpunkt (2;2) und der radius 2.
(dass das hier so leicht ist liegt an den punkten... bei einem "beliebigen" punkt z.b. (2.7 | 4.1) ist das schon schwieriger)
ich weiß jetzt nicht, ob man das in der 11. klasse schon macht, aber wenn du den abstand zwischen 2 punkten berechnen kannst, gibt es auch einen rechnerischen weg (dadurch kommt man auch auf den zweiten kreis, den ich ober schon erwähnt hab - bei (4 | 2) ist der um (10 | 10) mit radius 10)
wenn du willst kann ich dir diesen weg auch noch erklären...
lieben gruß,
Fulla
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Hallo informacao!
> Welcher Kreis berührt beide Koordinatenachsen und geht
> durch den Punkt P?
> P(4|2)
> Hallo,
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> Also ich verstehe diesen Aufgabentyp nicht richtig..und hab
> jetzt mal exemplarisch diesen Punkt gewählt. vielleicht
> könnte mir mal jemand die vorgehensweise da erklären! damit
> wäre mir sehr geholfen!
>
> viele grüße
> informacao
Die Aufgabe könnte man wie folgt lösen:
1)Vorüberlegungen
Ein Kreis, welcher die Achsen jeweils nur berührt und nicht schneidet hat einen Mittelpunkt auf der Gerade [mm]y=x[/mm] liegen. Für den Mittelpunkt [mm]M(x_{m};y_{m})[/mm] des Kreises muss deshalb gelten [mm] y_{m}=x_{m} [/mm] .
[mm] (\red{Achtung!} [/mm] Dies gilt nur für den Punkt A (4;2). Für Punkte, welche in anderen Quadranten als dem I. oder III. Quadranten liegen gilt dies nicht)
Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Gerade [mm]y=x[/mm] liegt berührt die Achsen in den Punkten [mm]Q(x;0)[/mm] und [mm]R(0;y)[/mm]. Beide Punkte haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M und zum Koordinatenursprung. Deshalb muss der x-Wert von Q gleich dem y-Wert von R sein. Man kann deshalb die Punkte Q und R vereinfacht darstellen als [mm]Q(a;0)[/mm] und [mm]R(0;a)[/mm]
Ein Kreis, dessen Mittelpunkt nicht im Koordinatenursprung liegt ist durch die allgemeine Mittelpunktgleichung des Kreises [mm](x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}[/mm] darstellbar.
Der Punkt [mm]P(4;2)[/mm] soll auf dem Kreis liegen. Er muss deshalb die Kreisgleichung erfüllen.
2. Einsetzen der Informationen aus den Vorüberlegungen in die Kreisgleichung
Es entsteht ein Gleichungssystem:
I: [mm] (4-x_{m})^{2}+(2-x_{m})^{2}=r^{2} [/mm] (Punkt P und das Wissen, das [mm] y_{m}=x_{m} [/mm] gilt eingesetzt)
II: [mm] (a-x_{m})^{2}+(0-x_{m})^{2}=r^{2} [/mm] (Punkt Q eingesetzt; [mm] y_{m}=x_{m} [/mm] berücksichtigt)
III: [mm] (0-x_{m}^{2}+(a-x_{m})^{2}=r^{2} [/mm] (Punkt R eingesetzt; [mm] y_{m}=x_{m} [/mm] berücksichtigt)
Dieses 3-stufige Gleichungssystem mit den unbekannten [mm]x_{m}, a[/mm] und [mm]r[/mm] kann man nun lösen.
Viel Spaß dabei. 
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Sa 23.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Tommy,
eine kleine Unstimmigkeit ist in Deiner Argumentation. Für die Mittelpunkte muss nicht immer gelten [mm] x_m [/mm] = [mm] y_m. [/mm] Damit könnten die Kreise ja jeweils nur im I. bzw. III. Quadranten liegen.
Es muss gelten [mm] |x_m| [/mm] = [mm] |y_m|
[/mm]
Somit sind die Koordinaten des Mittelpunktes nur betragsmäßig gleich. Z.B. ist nun möglich [mm] x_m [/mm] = 3 und [mm] y_m [/mm] = -3 und somit können die Mittelpunkte auch im II. und IV. Quadranten liegen.
mfg ullim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Sa 23.09.2006 | | Autor: | VNV_Tommy |
Hallo ullim!
> Hi Tommy,
>
> eine kleine Unstimmigkeit ist in Deiner Argumentation. Für
> die Mittelpunkte muss nicht immer gelten [mm]x_m[/mm] = [mm]y_m.[/mm] Damit
> könnten die Kreise ja jeweils nur im I. bzw. III.
> Quadranten liegen.
In diesem Fall soll der Kreis den Punkt A(4;2), welcher im I. Quadranten liegt, beinhalten. Demnach muss der Kreis zwangsläufig auch im I. Quadranten liegen, da er in allen anderen Fällen die Achsen nicht berührt, sondern schneidet.
> Es muss gelten [mm]|x_m|[/mm] = [mm]|y_m|[/mm]
>
> Somit sind die Koordinaten des Mittelpunktes nur
> betragsmäßig gleich. Z.B. ist nun möglich [mm]x_m[/mm] = 3 und [mm]y_m[/mm] =
> -3 und somit können die Mittelpunkte auch im II. und IV.
> Quadranten liegen.
>
> mfg ullim
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Sa 23.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Tommy,
und was ist mit den Punkten
P = [mm] \vektor{-6 \\ 3} [/mm] und
P = [mm] \vektor{5 \\ -10} [/mm] aus der Aufgabe?
mfg ullim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Sa 23.09.2006 | | Autor: | VNV_Tommy |
Für diese Punkte ist deine Argumentation richtig. Meine Antwort bezog sich jedcoh nicht auf die anderen Punkte, sondern lediglich auf Punkt A, da in dem posting auf welches ich antwortete auch lediglich nur der Punkt A erwähnt wurde. Die anderen Punkte wurden ja erst im anderen Diskussionsstrang erwähnt, wie ich gerade sehe.
Habe meine Antwort diesbezüglich angepasst und auf den behandelten Fall hingewiesen.
Gruß,
Tommy
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Hallo,
dann melde ich mich auch nocheinmal
Ich habe das jetzt mal nach dem schema gemacht...
> Hallo informacao!
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> > Welcher Kreis berührt beide Koordinatenachsen und geht
> > durch den Punkt P?
> > P(4|2)
> > Hallo,
> >
> > Also ich verstehe diesen Aufgabentyp nicht richtig..und hab
> > jetzt mal exemplarisch diesen Punkt gewählt. vielleicht
> > könnte mir mal jemand die vorgehensweise da erklären! damit
> > wäre mir sehr geholfen!
> >
> > viele grüße
> > informacao
>
> Die Aufgabe könnte man wie folgt lösen:
>
> 1)Vorüberlegungen
> Ein Kreis, welcher die Achsen jeweils nur berührt und
> nicht schneidet hat einen Mittelpunkt auf der Gerade [mm]y=x[/mm]
> liegen. Für den Mittelpunkt [mm]M(x_{m};y_{m})[/mm] des Kreises muss
> deshalb gelten [mm]y_{m}=x_{m}[/mm] .
> [mm](\red{Achtung!}[/mm] Dies gilt nur für den Punkt A (4;2). Für
> Punkte, welche in anderen Quadranten als dem I. oder III.
> Quadranten liegen gilt dies nicht)
>
> Ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Gerade [mm]y=x[/mm] liegt
> berührt die Achsen in den Punkten [mm]Q(x;0)[/mm] und [mm]R(0;y)[/mm]. Beide
> Punkte haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt M und zum
> Koordinatenursprung. Deshalb muss der x-Wert von Q gleich
> dem y-Wert von R sein. Man kann deshalb die Punkte Q und R
> vereinfacht darstellen als [mm]Q(a;0)[/mm] und [mm]R(0;a)[/mm]
>
> Ein Kreis, dessen Mittelpunkt nicht im Koordinatenursprung
> liegt ist durch die allgemeine Mittelpunktgleichung des
> Kreises [mm](x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}[/mm] darstellbar.
>
> Der Punkt [mm]P(4;2)[/mm] soll auf dem Kreis liegen. Er muss deshalb
> die Kreisgleichung erfüllen.
>
> 2. Einsetzen der Informationen aus den Vorüberlegungen in
> die Kreisgleichung
> Es entsteht ein Gleichungssystem:
>
> I: [mm](4-x_{m})^{2}+(2-x_{m})^{2}=r^{2}[/mm] (Punkt P und das
> Wissen, das [mm]y_{m}=x_{m}[/mm] gilt eingesetzt)
> II: [mm](a-x_{m})^{2}+(0-x_{m})^{2}=r^{2}[/mm] (Punkt Q eingesetzt;
> [mm]y_{m}=x_{m}[/mm] berücksichtigt)
> III: [mm](0-x_{m}^{2}+(a-x_{m})^{2}=r^{2}[/mm] (Punkt R eingesetzt;
> [mm]y_{m}=x_{m}[/mm] berücksichtigt)
>
> Dieses 3-stufige Gleichungssystem mit den unbekannten
> [mm]x_{m}, a[/mm] und [mm]r[/mm] kann man nun lösen.
>
Kannst du mir hierbei vielleicht nochmal helfen?? das kriege ich nicht hin :(
Würde mich freuen!
Viele Grüße
Informacao
> Viel Spaß dabei.
>
> Gruß,
> Tommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 So 24.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Informacao,
Die Kreisgleichung lautet
(I) [mm] (x-x_m)^2+(y-y_m)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] mit unbekannten [mm] x_m, y_m [/mm] und r
Für die Mittelpunktskoordinaten gilt
(II) [mm] |x_m| =|y_m|
[/mm]
Liegt ein allgemeiner Punkt [mm] P_1 [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ y_1} [/mm] auf dem Kreis, dann erfüllen die Koordinaten des Punktes [mm] P_1 [/mm] die Gleichung
[mm] (x_1-x_m)^2+(y_1-y_m)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Für [mm] y_m [/mm] kann man wegen (II) setzten [mm] y_m [/mm] = [mm] \alpha x_m [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
durch Ausmultiplizieren und einsetzen von [mm] y_m [/mm] erhält man
[mm] x_m^{2} [/mm] - [mm] 2(\alpha y_1 [/mm] + [mm] x_1)x_m +x_1^2 [/mm] + [mm] y_1^2 [/mm] = 0 also eine quadratische Gleichung für [mm] x_m.
[/mm]
Auflösen nach [mm] x_m [/mm] ergibt nach einigem rechnen
[mm] x_m [/mm] = [mm] \alpha y_1 [/mm] + [mm] x_1 \pm \wurzel{2\alpha x_1y_1}
[/mm]
Den Wert von [mm] \alpha, [/mm] +1 oder -1 errechnet sich aus der Bedingung, dass der Term unter der Wurzel immer positiv sein muss.
Aus der Lösung erkennt man auch, dass es zwei Lösungen gibt.
Für Dein Beispiel P = [mm] \vektor{-6 \\ 3} [/mm] folgt
[mm] \alpha [/mm] = -1
und durch einsetzen folgt [mm] x_m [/mm] = -3 - 6 [mm] \pm [/mm] 6 also
[mm] x_m_1 [/mm] = -3 und [mm] y_m_1 [/mm] = 3
[mm] x_m_2 [/mm] = -15 und [mm] y_m_2 [/mm] = 15
mfg ullim
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Hi,
vielleicht eine Frage nochmal vorweg:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig kapiert habe:
Heißt das also, es ist ein Kreis mit einer Kreisgleichung gesucht, der durch den Punkt P geht und jeweils einmal die X-Achse und einmal die y-Achse berührt??
Und ich habe das auch nicht wirklich verstanden...bin immer noch am Anfang der Aufgaben..ich weiß garnicht, wie ich da anfangen soll??
Viele Grüße
informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 So 24.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Informaco
Genau das sagt die Aufgabe.
Gruss leduart
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Gut...dann hab ich verstanden...
Ich weiß trotzdem nicht, wie ich anfangen soll!???
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Hallo,
> Gut...dann hab ich verstanden... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
dann nimm einfach mal die nächste Aufgabe und löse sie analog zu dem, was ullim aufgeschrieben hat; diese Aufgabe wurde doch schon vollständig gelöst.
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> Ich weiß trotzdem nicht, wie ich anfangen soll!???
Ein bißchen Eigenarbeit würde dir schon gut anstehen...
Gruß informix
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