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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 08.06.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
ich habe folgendes zu beweisen:
Sei G = (V, E) ein kreisfreier Graph.
Sind zwei Ecken u [mm] \in [/mm] V und v [mm] \in [/mm] V durch einen Kantenzug
[mm] $u=v_0-v_1- \ldots [/mm] - [mm] v_{r-1}-v_r=v$
[/mm]
in G verbunden,so ist der Kantenzug ein einfacher Weg, der eindeutig bestimmt ist.
Wie kann ich das ganze formal beweisen?
Mir ist schon klar, dass wenn ein Graph einen Kreis enthällt, dies gelten muss, und ja dann 2 Wege zwischen 2 Punkten u und v bestehen, ich weiss halt nur nicht wie ich das beweisen soll, per Widerspruchsbeweis, direkt, per Induktion ..
vielen Dank für Ihre Hilfe.
Marc
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Hallo!
Am besten machst du das mit einem Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gibt noch einen zweiten Weg: [mm] $u=u_0-u_1-\dots-u_s=v$.
[/mm]
Bezeichne [mm] $U:=\big\{u_j:\ j\in\{0,\dots,s\}\big\}$ [/mm] und [mm] $V:=\big\{v_k:\ k\in\{0,\dots,r\}\big\}$. [/mm] Ohne Einschränkung ist [mm] $|U|\ge [/mm] |V|$.
Nach Voraussetzung ist [mm] $U\setminus V\ne \emptyset$. [/mm] D.h. es gibt ein [mm] $j_0\in\{0,\dots,s\}$ [/mm] mit [mm] $u_j\ne [/mm] V$.
Sei nun [mm] $j_{-}:=\max\big\{j\in\{0,\dots,j_0\}:\ u_j\in V\big\}$ [/mm] und [mm] $j_{+}:=\min\big\{j\in\{j_0,\dots,s\}:\ u_j\in V\big\}$. [/mm] Es gilt: [mm] $j_-
Es gibt $k_-$ und $k_+$ mit [mm] $u_{j_-}=v_{k_-}$ [/mm] und [mm] $u_{j_+}=v_{k_+}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $u_{j_-}-\dots-u_{j_0}-\dots [/mm] - [mm] u_{j_+}=v_{k_+}-\dots [/mm] - [mm] v_{k_-}=u_{j_-}$ [/mm] ein Kreis. Das ist ein Widerspruch.
Gruß, banachella
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