Kreisgleichung und Mittelpunkt < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte P= (1;0); Q= (0;1) [mm] \in R^2.
[/mm]
K bezeichne die Menge aller Kreise
K:={(x; y) [mm] \in R^2 |(x-a)^2+ (y-b)^2=r^2}mit [/mm] Mittelpunkt (a; b) [mm] \in R^2
[/mm]
und Radius r >0, welche die Punkte P und Q enthalten.
Zeige: Die Mittelpunkte (a; b) der Kreise aus K
liegen auf einer Geraden. Bestimme
weiter die Art der Geraden und berechne die zugehörigen Radien. |
Hallo Zusammen,
ich hab so meine Probleme mit der Aufgabe.
Ich habe hier erstmal angesetzt und zwei Gleichungen aufgestellt mit den Punkten P und Q
1. [mm] (1-a)^2 [/mm] + [mm] (0-b)^2=r^2
[/mm]
2. [mm] (0-a)^2 [/mm] + [mm] (1-b)^2 =r^2
[/mm]
Jetzt hab ich ein Gleichungssystem mit 3 unbekannten und 2 gleichungen.
Meine Idee wäre jetzt das in Abhängigkeit zu lösen in Abhängigkeit von einer variabeln.
Bin mir aber nicht so ganz sicher ob das der richtige Weg ist.....
Zuerst soll ich ja auch erstmal beweisen das die Mittelpunkte auf einer Geraden liegen und dann erst ausrechnen ...
Vielen Dank schonmal für die Hilfe
LG
Sunnygirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Gegeben seien die Punkte P= (1;0); Q= (0;1) [mm]\in R^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> K
> bezeichne die Menge aller Kreise
> K:={(x; y) [mm]\in R^2 |(x-a)^2+ (y-b)^2=r^2}mit[/mm] Mittelpunkt
> (a; b) [mm]\in R^2[/mm]
> und Radius r >0, welche die Punkte P und Q
> enthalten.
> Zeige: Die Mittelpunkte (a; b) der Kreise aus K
> liegen auf einer Geraden. Bestimme
> weiter die Art der Geraden und berechne die zugehörigen
> Radien.
> Hallo Zusammen,
>
> ich hab so meine Probleme mit der Aufgabe.
>
> Ich habe hier erstmal angesetzt und zwei Gleichungen
> aufgestellt mit den Punkten P und Q
>
> 1. [mm](1-a)^2[/mm] + [mm](0-b)^2=r^2[/mm]
> 2. [mm](0-a)^2[/mm] + [mm](1-b)^2 =r^2[/mm]
>
> Jetzt hab ich ein Gleichungssystem mit 3 unbekannten und 2
> gleichungen.
> Meine Idee wäre jetzt das in Abhängigkeit zu lösen in
> Abhängigkeit von einer variabeln.
> Bin mir aber nicht so ganz sicher ob das der richtige Weg
> ist.....
> Zuerst soll ich ja auch erstmal beweisen das die
> Mittelpunkte auf einer Geraden liegen und dann erst
> ausrechnen ...
Hier gibt es kein "zuerst" und "und dann".
Dein Ansatz ist sehr gut brauchbar, auch die Tatsache, dass die Lösung einen Parameter enthält, das ist nämlich für alle Punkte einer Geraden sicherlich der Fall.
Eliminiere also r aus den beiden Geraden.
Zeige, dass die Beziehung zwischen a und b, die du erhälst, eine Geradengleichung darstellt.
Setze diese Beziehung in eine der Gleichungen ein, um einen Term für r zu gewinnen.
Du kannst dir dann leicht anschaulich klar machen, dass das alles seine Richtigkeit hat.
Gruß Sax.
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