Kreismessung des Archimedes < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind [mm] a,b\in\IR [/mm] positiv, dann:
G(a,b):= [mm] \wurzel{ab} [/mm] arithmetisches Mittel
H(a,b):= [mm] \bruch{2ab}{a+b}
[/mm]
Sei [mm] f_n [/mm] die Fläche des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks, entsprechend [mm] F_n [/mm] die Fläche des umbeschriebenen n-Ecks.
a) Berechnen sie [mm] f_6 [/mm] und [mm] F_6
[/mm]
b) zeigen sie: [mm] f_{2n}= G(f_n, F_n), F_{2n}=H(f_{2n}, F_n)
[/mm]
c) Zeige: Die Folge der Intervalle [mm] I_k=[a_k,b_k] [/mm] mit [mm] a_k= f_{3*2^k} [/mm] und [mm] b_k=F_{3*2^k} [/mm] bildet eine Intervallschachtelung, bei der Intervallängen gegen 0 konvergieren. (Skizze machen)
d) Welche Zahl liegt im Durchscnitt der Intervalle? |
So....bei dieser Aufgabe verstehe ich nur Bahnhof! Ich habe nicht im geringsten eine Ahnung, was damit gemeint sein soll. Könnt ihr mir das erklären? Auch über die Kreismessung des Archimedes habe ich noch nicht viel in Erfahrung bringen können.
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Sind [mm]a,b\in\IR[/mm] positiv, dann:
> G(a,b):= [mm]\wurzel{ab}[/mm] arithmetisches Mittel
> H(a,b):= [mm]\bruch{2ab}{a+b}[/mm]
>
> Sei [mm]f_n[/mm] die Fläche des dem Einheitskreis einbeschriebenen
> regelmäßigen n-Ecks, entsprechend [mm]F_n[/mm] die Fläche des
> umbeschriebenen n-Ecks.
>
> a) Berechnen sie [mm]f_6[/mm] und [mm]F_6[/mm]
> b) zeigen sie: [mm]f_{2n}= G(f_n, F_n), F_{2n}=H(f_{2n}, F_n)[/mm]
Hallo
ein regelmäßiges Sechseck ist aus 6 gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.
Skizziere dir einen Kreis mit dem Radius 1 und sechs Punkte auf diesem Kreis, die (vom Winkel her) jeweils in 60°-Abständen liegen. Wenn man alle diese Punkte mit dem Mittelpunkt verbindet, entstehen die 6 gleichseitigen Dreieecke.
Berechne ihre Fläche, und du hast [mm] f_6.
[/mm]
Jetzt bist du dran...
Gruß Abakus
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> c) Zeige: Die Folge der Intervalle [mm]I_k=[a_k,b_k][/mm] mit [mm]a_k= f_{3*2^k}[/mm]
> und [mm]b_k=F_{3*2^k}[/mm] bildet eine Intervallschachtelung, bei
> der Intervallängen gegen 0 konvergieren. (Skizze machen)
>
> d) Welche Zahl liegt im Durchscnitt der Intervalle?
> So....bei dieser Aufgabe verstehe ich nur Bahnhof! Ich habe
> nicht im geringsten eine Ahnung, was damit gemeint sein
> soll. Könnt ihr mir das erklären? Auch über die
> Kreismessung des Archimedes habe ich noch nicht viel in
> Erfahrung bringen können.
>
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Di 10.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
also die Fläche des 6-ecks berechnen?? okay, dann werde ich das mal probieren!
Danke für den hinweis! :)
Mathegirl
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der flächeninhalt wäre etwa 2,6cm?? aber was hat das mit der aufgabe zu tun? F ist dann also die Fläche, die zwischen kreis und 6eck übrig bleibt oder was?? 0,54cm wären das dann...
und was hat das mit Gund H zu tun??
mathegirl
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> der flächeninhalt wäre etwa 2,6cm??
Hallo,
für [mm] f_6? [/mm] Das ist richtig. Ich fände es allerdings passend, hier auch den exakten Wert anzugeben.
> aber was hat das mit
> der aufgabe zu tun?
Das erschließt sich beim Weiterlesen des Aufgabentextes:
| Aufgabe | Sind $ [mm] a,b\in\IR [/mm] $ positiv, dann:
G(a,b):= $ [mm] \wurzel{ab} [/mm] $ arithmetisches geometrisches. Mittel
H(a,b):= $ [mm] \bruch{2ab}{a+b} [/mm] $
Sei $ [mm] f_n [/mm] $ die Fläche des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks, entsprechend $ [mm] F_n [/mm] $ die Fläche des umbeschriebenen n-Ecks.
a) Berechnen sie $ [mm] f_6 [/mm] $ und $ [mm] F_6 [/mm] $
b) zeigen sie: $ [mm] f_{2n}= \red{G(f_n, F_n)}, F_{2n}=\red{H(f_{2n}, F_n)} [/mm] $
c) Zeige: Die Folge der Intervalle $ [mm] I_k=[a_k,b_k] [/mm] $ mit $ [mm] a_k= f_{3\cdot{}2^k} [/mm] $ und $ [mm] b_k=F_{3\cdot{}2^k} [/mm] $ bildet eine Intervallschachtelung, bei der Intervallängen gegen 0 konvergieren. (Skizze machen)
d) Welche Zahl liegt im Durchscnitt der Intervalle? |
> F ist dann also die Fläche, die
> zwischen kreis und 6eck übrig bleibt oder was??
???
Von welchem F redest Du jetzt?
Seh ich nicht.
Ich sehe bloß [mm] F_n, [/mm] und was das sein soll, wird im Text gesagt.
> 0,54cm
> wären das dann...
>
> und was hat das mit G und H zu tun??
Schau den Aufgabentext an.
Gruß v. Angela
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Ich meinte [mm] F_6 [/mm] ist Fläche vom Kreis - Fläche 6-Eck oder was heißt "umbeschriebenen"?
Wenn ich die Aufgabe aus dem Text heraus verstehen würde, dann würde ich kaum hier fragen!!
ich verstehe es leider echt nicht, was mit dieser Aufgabe gemeint sein soll!
mathegirl
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> Ich meinte [mm]F_6[/mm] ist Fläche vom Kreis - Fläche 6-Eck oder
> was heißt "umbeschriebenen"?
Hallo,
hier geht es nicht um Meinungen.
Es geht um das, was im Text steht, und diesen muß man sehr genau lesen, wenn man die Aufgabe lösen möchte.
Dort steht:
"Sei $ [mm] f_n [/mm] $ die Fläche des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks, entsprechend $ [mm] F_n [/mm] $ die Fläche des umbeschriebenen n-Ecks. "
Wir lernen: [mm] F_n [/mm] ist die Fläches eines n-Ecks.
Und welchen n-Ecks? Die des umschriebenen n-Ecks.
> was heißt "umbeschriebenen"?
Das regelmäßige n-Eck, welches sich außen an den Einheitskreis schmiegt, s. ![[]](/images/popup.gif) dort.
> Wenn ich die Aufgabe aus dem Text heraus verstehen würde,
> dann würde ich kaum hier fragen!!
Kommt immer darauf an, was jemand unter "lesen" versteht, das ist ja sehr unterschiedlich...
Vielleicht trifft's auf Dich nicht zu, aber die Erfahrung lehrt, daß es tatsächlich sehr oft an der gründlichen, aktiven Lektüre der Aufgabentexte mangelt.
> ich verstehe es leider echt nicht, was mit dieser Aufgabe
> gemeint sein soll!
Wenn Du sie von vorn bis hinten durchgerechnet hat, wird es sich Dir besser erschließen.
Zunächst mal reicht es ja, sie Schritt für Schritt zu lösen.
Aber Du ahnst sicher schon jetzt, daß sich [mm] f_n [/mm] und [mm] F_n [/mm] für [mm] n\to \infty [/mm] dier Fläche des Einheitskreises annähern, womit die Antwort auf den letzten Aufgabenteil klar sein sollte.
Gruß v. Angela
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[mm] f_6=\bruch{6*\wurzel{3}}{4} [/mm] LE
[mm] F_6=\bruch{8*\wurzel{3}}{4} [/mm] LE
b) wie man das zeigen soll weiß ich nicht. es sollen sicher die Vorgegebenen G und H genutzt werden oder? Wie setzt man das ein?
c) Intervallschachtelung müsste hier ja eigentlich heißen:
[mm] a_k [/mm] ist monoton wachsend und [mm] b_k [/mm] monoton fallend. also [mm] a_k\le b_k.
[/mm]
Die Differenz muss eine Nullfolge sein [mm] b_k -a_k [/mm] , also ist dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_k-a_k)=0 [/mm] Aber wie soll ich das nun zeigen?
Mathegirl
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hat niemand dazu einen Tipp für mich? Aufgabe a habe ich ja aber der Rest bereitet mir echt Probleme!
Grüße
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mi 11.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ist das 2n Eck das indem doppelt soviel Ecken sind.
Entweder nimm dein 6 Eck, oder denk dir du hättest für irgend ein n Eck schon den Umfang ausgerechnet. jetzt Zeichne zwischen je 2 Ecken ein neue ein. (Du musst das ja nur bei einem der Dreiecke wirklich machen. Rechne die 2 neuen Längen aus. dann kennst du den Umfang der 2n Ecke. und jetzt nimm die 2 Formeln und bilde das geom. und das arithmetische Mittel von [mm] f_n [/mm] Fn wie in der Aufgabe.
Wenn du b) hast, siehst du doch direkt, dass das innere 2n Eck grösser als das n Eck, beim Äusseren umgekehrt.
entweder an den Formeln, oder wenigstens anschaulich.
Gruss leduart
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vielen Dank leduart! aber was sind von den formeln mein a und mein b?? das b? die seitenlängen vom dreieck??
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Do 12.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du in den wenigen Minuten [mm] F_{2n} [/mm] usw ausgerechnet?
in deiner Aufgabe steht G(a,b)=..; H(a,b)=...
darunter $ [mm] f_{2n}= G(f_n, F_n), F_{2n}=H(f_{2n}, F_n) [/mm] $
steht dann [mm] G(f_n, F_n) [/mm] was ist da wohl a und b?
Du musst dringend genauer oder gründlicher lesen lernen, das spart am Ende viel Zeit.
Aufgabe überfliegen, Worte überlegen oder nachschauen, die man nicht versteht, notfalls genau aufschreiben, welchen Satz man nicht versteht, manchmal kommt dabei schon das ach ja. noch mal durchlesen. Wenn man einen Teil geschafft hat wieder durchlesen. usw.
Gruss leduart
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Hallo! Ich misch hier auch noch mal ein bißchen mit :)
Ich hab mir das jetzt alles so aufgezeichnet und ich sehe eindeutig, dass das 2n-Eck von inneren größer wird und beim äußeren umgekehrt. Ich habe mir jetzt aufgeschrieben:
fn=n*x (wobei x bei mir der Flächeninhalt eines der n Dreiecke ist) und
f2n=n*(x+y) (dabei ist y der kleine flächenteil, der neu dazu gekommen ist) und damit
f2n=fn+n*y
jetzt wollte ich den flächeninhalt von dem y berechnen und weiß nicht genau wie, hat da jemand einen Tipp?
@ leduart was meinst du mit Umfang? ich dachte, es geht hier um den flächeninhalt?
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> Hallo! Ich misch hier auch noch mal ein bißchen mit :)
>
> Ich hab mir das jetzt alles so aufgezeichnet und ich sehe
> eindeutig, dass das 2n-Eck von inneren größer wird und
> beim äußeren umgekehrt. Ich habe mir jetzt
> aufgeschrieben:
> fn=n*x (wobei x bei mir der Flächeninhalt eines der n
> Dreiecke ist) und
> f2n=n*(x+y) (dabei ist y der kleine flächenteil, der neu
> dazu gekommen ist) und damit
> f2n=fn+n*y
> jetzt wollte ich den flächeninhalt von dem y berechnen
> und weiß nicht genau wie, hat da jemand einen Tipp?
Hallo,
mit y meinst Du das kleine Dreieckelchen, nicht wahr?
Seine Basis ist der n-te teil des Umfanges des n-Ecks, also die von 1 verschiedene Dreiecksseite , seine Höhe die Differenz des Kreisradius, also 1, und der Höhe der Dreiecke im n-Eck.
Ich hoffe, Du verstehst, was ich meine.
Ich hab' aber nicht geprüft, ob diese Berechnung so praktisch ist.
Gruß v. Angela
>
> @ leduart was meinst du mit Umfang? ich dachte, es geht
> hier um den flächeninhalt?
Nachtrag: bei meiner Überlegung verwende ich auch den Umfang des n-Ecks bzw. die Dreiecksseite.
Die Seiten [mm] s_{2n} [/mm] des 2n-Eckes bekomme ich ja mit dem Pythagoras aus denen des n-Eckes.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Do 12.11.2009 | | Autor: | Andariella |
ja genau, das ist mein y :)
jetzt verstehe ich auch, was mit umfang gemeint war. ich werds mal durchrechnen, hoffe, es klappt!
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Umfang? flächeninhalt? jetzt bin ich ganz durcheinander! :))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 12.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte aus Versehen Umfang statt Flächeninhalt geschrieben. da du ja aber die Seitenlängen s deiner n Teildreiecke brauchst kann man auch jeweils den Umfang, n*s ausrechnen. musst du aber nicht. einfach nur bei bekannter Fläche von einem Teildreick von [mm] f_n [/mm] die Fläche der neuen Teildreiecke bestimmen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:22 Do 12.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
bei [mm] f_{2n} [/mm] bekomme ich wenn n das 6eck war immer als flächeninhalt 0.5 raus. das kann doch nicht sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 12.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a)weiss ich nicht von welchem Flächeninhalt du redest,
b) musst du schon sagen was du genau machst, damit man sieht was schief geht.
Gruss leduart
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ALso ich habe jetzt versucht, das allgemein nur in Abhängigkeit von n auszurechnen. Es klappt zwar zuerst, aber ich hab jetzt einige Seiten voll mit Rechnungen und am Ende kommen so unhandliche Terme raus, dass ich die nicht mehr für den Beweis gebrauchen kann. Das wäre dann ein 30 Seiten Monster. Ich hab jetzt nochmal versucht, es allgemein mit x und y zu machen, aber das klappt nicht. Hat vielleicht noch jemand noch einen Tipp dazu? Ich habe glaube ich vor allem ein Problem, weil ich Fn nicht allgemein schreiben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Do 12.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn [mm] f_6 [/mm] und [mm] F_6 [/mm] ? und zwar als Formel, nicht als ungenaue Dezimalzahl?
wie bekommst du aus Kenntnis von [mm] f_6 f_{12}
[/mm]
oder aus [mm] f_4 f_8 [/mm] oder eben aus [mm] f_n f_{2n}
[/mm]
zeichne dir irgend eins der n Teildreiecke auf, und bestimme aus dem eines der neuen 2n Teildreiecke.
versuch das allgemein zu schreiben. entsprechend für F
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Do 12.11.2009 | | Autor: | Andariella |
ok mache ich, danke! ich hoffe, es klappt so. hab nämlich echt keine lust, den monster term doch noch auszurechnen. :)
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> Sind [mm]a,b\in\IR[/mm] positiv, dann ist:
> G(a,b):= [mm]\wurzel{a\,b\,}[/mm] geometrisches Mittel
> H(a,b):= [mm]\bruch{2\,a\,b}{a+b}[/mm] harmonisches Mittel
>
> Sei [mm]f_n[/mm] die Fläche des dem Einheitskreis einbeschriebenen
> regelmäßigen n-Ecks, entsprechend [mm]F_n[/mm] die Fläche des
> umbeschriebenen n-Ecks.
>
> (a) Berechnen Sie [mm]f_6[/mm] und [mm]F_6[/mm]
> (b) Zeigen Sie: [mm]f_{2n}= G(f_n, F_n)[/mm] sowie [mm] F_{2n}=H(f_{2n}, F_n)[/mm]
Ich habe mir eine Zeichnung gemacht, mit deren
Hilfe man Formeln entwickeln kann, die für (b)
nützlich sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu den Bezeichnungen:
k sei der Kreis um O mit dem Radius r=1 .
OAB sei eines der n kongruenten Dreiecke, in
welche man das k umschriebene reguläre n-Eck
unterteilen kann. Oab ist das entsprechende
Teildreieck des einbeschriebenen n-Ecks.
Die Zeichnung ist zwar für n=6 gemacht;
die aus ihr abzuleitenden Formeln sollen aber
auch für alle größeren n gelten.
Das Dreieck OAB hat die Grundlinie [mm] G=\overline{AB} [/mm] mit
dem Mittelpunkt M und die Höhe [mm] H=\overline{OM}=r=1 [/mm]
und somit den Flächeninhalt [mm] \frac{F_n}{n}=\frac{1}{2}*G*H=\frac{1}{2}*G
[/mm]
Das Dreieck Oab hat die Grundlinie [mm] g=\overline{ab} [/mm] mit
Mittelpunkt m und die Höhe [mm] h=\overline{Om}, [/mm] also den
Flächeninhalt [mm] \frac{f_n}{n}=\frac{1}{2}*g*h [/mm] .
Nun gilt:
[mm] $\frac{G}{H}= \frac{g}{h}$ [/mm] (ähnliche Dreiecke [mm] \Delta [/mm] OAB und [mm] \Delta [/mm] Oab)
Wegen H=1 folgt daraus
(1) [mm] $\blue{G= \frac{g}{h}}$
[/mm]
Ferner ist natürlich:
(2) [mm] $\blue{h^2+\frac{g^2}{4}=1}$ [/mm] (Pythagoras im [mm] \Delta [/mm] OMb)
Das einbeschriebene reguläre 2n-Eck soll jede
zweite Ecke mit dem n-Eck gemeinsam haben, also
sind a,M und b drei aufeinander folgende seiner
Ecken. Wir teilen es in 2n Teildreiecke ein; eines
davon ist [mm] \Delta [/mm] OaM mit der Grundlinie [mm] g_2=\overline{aM} [/mm] (Mittel-
punkt Z) und der Höhe [mm] h_2=\overline{OZ}.
[/mm]
Das dem Kreis umbeschriebene reguläre 2n-Eck
kann wiederum in 2n kongruente Teildreiecke
zerteilt werden. Ein solches ist das Dreieck ONP
(siehe Figur). Seine Grundlinie ist [mm] G_2=\overline{NP} [/mm] und
seine Höhe [mm] H_2=r=1 [/mm] .
Nützlich ist die Feststellung, dass ein kleiner
Winkel [mm] \varepsilon [/mm] in der Zeichnung an verschiedenen Stellen
auftritt (in der Figur 3 mal angegeben - es gäbe
noch mehr ...). Nun kann man z.B. sehen, dass
$\ [mm] tan(\varepsilon)=\frac{\overline{Mm}}{\overline{mb}} =\frac{\overline{MZ}}{\overline{OZ}}$
[/mm]
also [mm] $\frac{1-h}{g/2} =\frac{g_2/2}{h_2}$
[/mm]
was man noch umformen kann zu
(3) [mm] $\blue{\frac{g_2}{h_2}=\frac{4*(1-h)}{g}}$
[/mm]
Ferner gilt natürlich analog zu (2) auch
(4) [mm] $\blue{h_2^2+\frac{g_2^2}{4}=1}$ [/mm] (Pythagoras im [mm] \Delta [/mm] OZM)
Die 4 nummerierten "blauen" Gleichungen sollten
ausreichen für die in Aufgabe (b) verlangten Nachweise.
LG Al-Chwarizmi
Nachtrag: Ich bemerke gerade, dass noch in keiner
der angegebenen Formeln die Größe [mm] G_2 [/mm] vorkommt.
Eine solche zu gewinnen, ist aber nicht schwer, denn
analog zur obigen Gleichung (1) gilt natürlich:
(5) [mm] $\blue{G_2= \frac{g_2}{h_2}}$
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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PROGRAM Gregory; {berechnet Intervallschachtelung für Pi }
const imax=30;
var i,n: longint; {Variablen deklarieren }
Fi,Fa: real;
function GM(x,y:real):real; {geometrisches Mittel }
begin
GM:=sqrt(x*y)
end;
function HM(x,y:real):real; {harmonisches Mittel }
begin
HM:=2*x*y/(x+y)
end;
BEGIN
n:=6; Fi:=3/2*Sqrt(3); Fa:=2*Sqrt(3); {reguläres 6-Eck }
for i:=1 to imax do
begin
writeln(n:12,Fi:25:18,Fa:25:18); {Ergebnisse schreiben }
n:=2*n; Fi:=GM(Fi,Fa); Fa:=HM(Fi,Fa); {eigentliche Berechnungen }
end
END.
Eckenzahl Inhalt Innenvieleck Inhalt Aussenvieleck
6 2.598076211353315940 3.464101615137754587
12 3.000000000000000000 3.215390309173472478
24 3.105828541230249148 3.159659942097500483
48 3.132628613281238197 3.146086215131434971
96 3.139350203046867207 3.142714599645368298
192 3.141031950890509638 3.141873049979823872
384 3.141452472285462075 3.141662747056848526
768 3.141557607911857645 3.141610176604689539
1536 3.141583892148318409 3.141597034321526152
3072 3.141590463228050096 3.141593748771352028
6144 3.141592105999271550 3.141592927385097033
12288 3.141592516692157448 3.141592722038613818
24576 3.141592619365383955 3.141592670701998048
49152 3.141592645033690897 3.141592657867844420
98304 3.141592651450767652 3.141592654659306033
196608 3.141592653055036842 3.141592653857171437
393216 3.141592653456104139 3.141592653656637788
786432 3.141592653556370964 3.141592653606504376
1572864 3.141592653581437670 3.141592653593971023
3145728 3.141592653587704346 3.141592653590837684
6291456 3.141592653589271015 3.141592653590054350
12582912 3.141592653589662683 3.141592653589858516
25165824 3.141592653589760599 3.141592653589809558
50331648 3.141592653589785078 3.141592653589797318
100663296 3.141592653589791198 3.141592653589794258
201326592 3.141592653589792728 3.141592653589793493
402653184 3.141592653589793111 3.141592653589793302
805306368 3.141592653589793206 3.141592653589793254
1610612736 3.141592653589793230 3.141592653589793242
3221225472 3.141592653589793237 3.141592653589793239
6442450944 3.141592653589793238 3.141592653589793239
Was ist das ?
Ein kleines Programm, welches die Pi-Berechnung
nach den genialen Formeln von James Gregory durch-
führt, sowie sein Output bei 30-maliger Verdoppelung
der Eckenzahl, ausgehend vom regelmässigen 6-Eck.
Archimedes rechnete (nach einer etwas anderen Methode)
bis zum 96-Eck !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
nachdem ich mich jetzt mit dieser Methode zur Be-
rechnung von π etwas auseinandergesetzt habe, bin
ich auch darauf gestoßen, dass diese Methode (mit
geometrischem und harmonischem Mittel) nicht wirk-
lich direkt von Archimedes stammt, sondern wohl auf
James Gregory (1638-1675) zurückgeht.
Natürlich gebührt Archimedes (3.Jh.v.Chr.) der Ruhm
für die grundsätzliche Idee mit der fortgesetzten
Verdoppelung der Eckenzahl regelmässiger Vielecke,
um π im Prinzip auf eine gewünschte Genauigkeit
zu berechnen. Sein Ergebnis, das er bekam, indem
er bis zum 96-Eck rechnete, besagte:
$\ [mm] 3+\frac{10}{71}\ [/mm] <\ [mm] \pi<3+\frac{10}{70}\ [/mm] =\ [mm] \frac{22}{7}$
[/mm]
Die Rekursionsformel mit geometrischem und har-
monischem Mittel hatte er aber noch nicht. Sie
hätte auch seine Art der Berechnung kaum er-
leichtern können. Der Vorzug der Formel mit den
Mittelwerten ist übrigens eher ästhetischer als
praktischer Natur. Zur Zeit Gregorys gab es zur
numerischen Bestimmung von π schon bessere
Methoden als diese Formel.
LG
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