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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Mi 02.05.2007 | | Autor: | stew |
| Aufgabe | | Durch den Punkt P = (2/11) sind Tangenten an den Kreis k zu legen, der den Mittelpunkt M =(0/-3) und den Radius r = 10 hat. Geben Sie die Gleichungen der Tangenten an! |
Hallo!
Ich hab die Kreisgleichung k: [mm] \{X - \vektor{0\\ -3} \}^2 [/mm] = 100
[mm] (x-0)^2 [/mm] + [mm] (y-3)^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 6y + 9 = 100
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 6y - 91 = 0
aufgestellt. Nun bin ich auch zu den Tangentengleichungen
4x + 3y = 41 bzw. -3x + 4y = 38 gekommen, hab aber die Koordinaten der Tangentenberührungspunkte von meiner Zeichnung abgelesen. Wie kann ich die berechnen?
Müsste ich die Gerade mit dem Kreis schneiden ( Kreisgleichung schneiden mit : [mm] \overline{MT} \* \overline{PT} [/mm] = 0) ?
[mm] \overrightarrow{MT} [/mm] = T - M = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] - [mm] \vektor{0\\ -3}=\vektor{x-0 \\ y+3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PT} [/mm] = T - P = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 11} [/mm] = [mm] \vektor{x-2\\ y-11}
[/mm]
[mm] \vektor{x -0\\ y+3} \* \vektor{x -2\\ y-11} [/mm] = 0
(x-0) [mm] \* [/mm] (x-2) + (y+3) [mm] \* [/mm] (y-11) = 0
[mm] x^2 [/mm] - 2x + [mm] y^2 [/mm] + 3y - 11y - 33 = 0
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -2x -8y - 33 = 0
Stimmen diese Gleichungen?
Wenn ich die beiden schneide, könnte ich y ermitteln, in die Kreisgleichung einsetzen und so die x-Werte erhalten, oder?
Sollte meine Rechnung bis hierher stimmen, könnte mir jemand den weiteren Rechenvorgang erklären?
Würd mich sehr freuen, wenn jemand helfen könnt.
lg stew
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 02.05.2007 | | Autor: | riwe |
> Durch den Punkt P = (2/11) sind Tangenten an den Kreis k zu
> legen, der den Mittelpunkt M =(0/-3) und den Radius r = 10
> hat. Geben Sie die Gleichungen der Tangenten an!
> Hallo!
> Ich hab die Kreisgleichung k: [mm]\{X - \vektor{0\\ -3} \}^2[/mm]
> = 100
> [mm](x-0)^2[/mm] + [mm](y-3)^2[/mm]
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 6y + 9 = 100
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 6y - 91 = 0
> aufgestellt. Nun bin ich auch zu den Tangentengleichungen
> 4x + 3y = 41 bzw. -3x + 4y = 38 gekommen, hab aber die
> Koordinaten der Tangentenberührungspunkte von meiner
> Zeichnung abgelesen. Wie kann ich die berechnen?
> Müsste ich die Gerade mit dem Kreis schneiden (
> Kreisgleichung schneiden mit : [mm]\overline{MT} \* \overline{PT}[/mm]
> = 0) ?
> [mm]\overrightarrow{MT}[/mm] = T - M = [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] -
> [mm]\vektor{0\\ -3}=\vektor{x-0 \\ y+3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{PT}[/mm] = T - P = [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 11}[/mm]
> = [mm]\vektor{x-2\\ y-11}[/mm]
> [mm]\vektor{x -0\\ y+3} \* \vektor{x -2\\ y-11}[/mm]
> = 0
> (x-0) [mm]\*[/mm] (x-2) + (y+3) [mm]\*[/mm] (y-11) = 0
> [mm]x^2[/mm] - 2x + [mm]y^2[/mm] + 3y - 11y - 33 = 0
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] -2x -8y - 33 = 0
>
> Stimmen diese Gleichungen?
> Wenn ich die beiden schneide, könnte ich y ermitteln, in
> die Kreisgleichung einsetzen und so die x-Werte erhalten,
> oder?
> Sollte meine Rechnung bis hierher stimmen, könnte mir
> jemand den weiteren Rechenvorgang erklären?
> Würd mich sehr freuen, wenn jemand helfen könnt.
> lg stew
alles bestens.
x²+y²-6y=91
x²+y²-2x-8y=33
II - I ergibt nach kürzen
[mm]x+y=29\to y=29-x[/mm]
und das setzt du jetzt in die kreisgleichung ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 02.05.2007 | | Autor: | stew |
Erst einmal vielen Dank,
leider scheitert der Schluss meiner Rechnung am Handwerklichen, ich weiß nicht mehr, wie man die beiden Gleichungen gleichsetzt, geht das nach Gauß?
Hoff, die Frage ist nicht zu ...
lg stew
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mi 02.05.2007 | | Autor: | riwe |
> Erst einmal vielen Dank,
> leider scheitert der Schluss meiner Rechnung am
> Handwerklichen, ich weiß nicht mehr, wie man die beiden
> Gleichungen gleichsetzt, geht das nach Gauß?
> Hoff, die Frage ist nicht zu ...
> lg stew
es ist mir zwar schleierhaft, wie du auf der einen seite mit vektoren umgehst......
x²+y²- 6y = 91
x²+y²- 2x- 8y = 33
und daher
x²+y²-6y -(x²+y²-2x-8y) = 91 - 33 [mm] \to [/mm] y = 29 - x
x²+(29-x)²-6(29-x)=91
allerdings sehe ich gerade, da ist ein fehler in der kreisgleichung, die heißt richtig:
x²+(y+3)²=100
und damit wie oben x = 29 - 7y
(29 -7y)²+y²+6y=91
[mm]50y²-400y+750=0[/mm]
[mm]y²-8y+15=0[/mm]
und mit der pq-formel zur lösung einer quadratischen gleichung
[mm] y_{1,2}=4\pm\sqrt{16-15}\to y_1=5 [/mm] und [mm] y_2=3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 02.05.2007 | | Autor: | stew |
Vielen Dank!
Hab's jetzt endlich ...
Ich glaub, ich muss einmal eine Pause machen....
Liebe Grüße stew
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mi 02.05.2007 | | Autor: | stew |
Alles klar, deswegen hat das Schneiden der Gleichungen nicht funktioniert, hab schon seitenlang gerechnet. Hatte die quadratische Gleichung schon mit der kleinen Lösungsformel gelöst, kam aber natürlich nicht zu den richtigen Koordinaten. Danke für die Korrektur!!!!! Jetzt werd ichs wohl schaffen 
Liebe Grüße stew
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