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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Kriterien affiner Unterraum
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Kriterien affiner Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Di 02.06.2020
Autor: rubi

Hallo zusammen,

mir ist bekannt, dass ein affiner Unterraum ein Raum W = a + U, wobei U ein Untervektorraum ist.

Mir sind auch die Kriterien bekannt, um Mengen auf Untervektorraumeigenschaft zu überprüfen:
1.) Ist der Nullvektor enthalten ?
2.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. + ?
3.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit einem
Körper K ?

Was ich aber nicht weiß ist, mit welchen Kriterien man eine Menge daraufhin überprüft, ob sie einen affinen Unterraum darstellt (und keine klassische Gerade- oder Ebenengleichung aus der Schulmathematik darstellt, da mir hier klar ist, dass es ein affiner Unterraum ist).

z.B.
M = [mm] \{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 + x_2 + x_3 <=1 \} [/mm]
N = [mm] \{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 = 1 oder x_3 = 1 \} [/mm]

Dies sind scheinbar keine affinen Unterräume, aber wie zeigt man dies genau?

Danke für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi



        
Bezug
Kriterien affiner Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Di 02.06.2020
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> mir ist bekannt, dass ein affiner Unterraum ein Raum W = a
> + U, wobei U ein Untervektorraum ist.
>
> Mir sind auch die Kriterien bekannt, um Mengen auf
> Untervektorraumeigenschaft zu überprüfen:
> 1.) Ist der Nullvektor enthalten ?
>  2.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. + ?
>  3.) Ist die Menge abgeschlossen bzgl. der Multiplikation
> mit einem
>  Körper K ?
>  
> Was ich aber nicht weiß ist, mit welchen Kriterien man
> eine Menge daraufhin überprüft, ob sie einen affinen
> Unterraum darstellt (und keine klassische Gerade- oder
> Ebenengleichung aus der Schulmathematik darstellt, da mir
> hier klar ist, dass es ein affiner Unterraum ist).
>
> z.B.
> M = [mm]\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 + x_2 + x_3 <=1 \}[/mm]
>  N =
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3: x_1 = 1 oder x_3 = 1 \}[/mm]
>  
> Dies sind scheinbar keine affinen Unterräume, aber wie
> zeigt man dies genau?

Zu M:

wir nehmen an, M sei ein affiner Unteraum. Dann ex ein $a [mm] \in \IR^3$ [/mm] und ein Untervektorraum U mit

$M=a+U.$

Nun gibt es 4 Fälle:

Fall i: [mm] $\dim [/mm] U=i$   (i=0,1,2,3).

Ist i=0, so ist [mm] $M=\{a\}$. [/mm] Dieser Fall scheidet aus.

Ist i=1, so ist M eine Gerade, dieser Fall scheidet auch aus (warum ?)

Ist i=2, so ist M eine Ebene, dieser Fall scheidet auch aus (warum ?)

Ist i=3, so ist M= [mm] \IR^3, [/mm] dieser Fall scheidet auch aus (warum ?)



Genauso kannst Du mit N verfahren.

>  
> Danke für eure Antworten.
>
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
>  


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