Kritische Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Man klassifiziere die kritischen Punkte für
[mm] f_{a}:\IR^{2} \to \IR, f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3axy,
[/mm]
in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR [/mm] nach Maxima,Minima und Sateelpunkten. |
Hallo,
ich habe zuerst den Gradienten bestimmt:
[mm] (3x^{2}+3ay [/mm] , [mm] -3y^{2} [/mm] +3ax) =>
=> die kritischen Punkte existieren für y=-a , x=a.
Die Hessematrix an einer kritischen Stelle sieht so aus:
[mm] \pmat{ 6a & 3a \\ 3a& 6a }.
[/mm]
Fallunterscheidung:
1)Fall: a>0 => Hessematrix ist postiv definit, also liegt ein striktes lokales
Minimum in a.
2)Fall a=0 => Hessematrix ist Nullmatrix => sie ist semidefinit.
Was liegt hier vor? Ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt und warum?
(Dieser Fall ist mir unklar)
3)Fall a<0 => Hessematrix ist ... ???
Was ich nur feststellen konnte, dass sie nicht positiv definit und auch nicht
negativ definit, da det(Hess) < 0 ( was bedeutet das für die Definitheit, wenn det(Hess)<0 ist?)
Im Grossen und Ganzen konnte ich mehr oder weniger vollständig nur den ersten Fall verstehen , bei den beiden anderen habe ich noch Verständnissprobleme.
MfG
Igor
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> Man klassifiziere die kritischen Punkte für
> [mm]f_{a}:\IR^{2} \to \IR, f(x,y)=x^{3}-y^{3}+3axy,[/mm]
> in
> Abhängigkeit von a [mm]\in \IR[/mm] nach Maxima,Minima und
> Sateelpunkten.
> Hallo,
>
> ich habe zuerst den Gradienten bestimmt:
> [mm](3x^{2}+3ay[/mm] , [mm]-3y^{2}[/mm] +3ax) =>
>
> => die kritischen Punkte existieren für y=-a , x=a.
>
> Die Hessematrix an einer kritischen Stelle sieht so aus:
>
> [mm]\pmat{ 6a & 3a \\ 3a& 6a }.[/mm]
>
> Fallunterscheidung:
> 1)Fall: a>0 => Hessematrix ist postiv definit, also liegt
> ein striktes lokales
> Minimum in a.
> 2)Fall a=0 => Hessematrix ist Nullmatrix => sie ist
> semidefinit.
>
> Was liegt hier vor? Ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt
> und warum?
> (Dieser Fall ist mir unklar
h
Hallo,
diesen Fal kannst Du anhand der Hessematrix nicht entscheiden, Du mußt Dir etwas anderes ausdenken.
Zur Auswahl hast Du ja Min, Max und Sattelpunkt.
Jetzt schau die Funktion an: [mm] f(x,y)=x^{3}-y^{3}, [/mm] und überlege Dir ob alle Funktionswerte zu Punkten in der Umgebung von (0,0) pos. sind, ob sie eg. sind, oder ob es solche und solche gibt.
>
> 3)Fall a<0 => Hessematrix ist ... ???
> Was ich nur feststellen konnte, dass sie nicht positiv
> definit und auch nicht
> negativ definit, da det(Hess) < 0 ( was bedeutet das für
> die Definitheit, wenn det(Hess)<0 ist?)
Es ist hier die det der Hessematrix >0 (!!!), das linke obere Element negativ, also ist sie negativ definit ==> Max.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wenn ich Punkte p:=(x,y) in einer beliebigen Umgebung von (0,0) anschaue, dann [mm] x^{3}-y^{3} [/mm] kann > 0 , aber auch = 0 oder < 0 sein,
denn weicht x von y wenig aber hinreichend ab (also x<y oder y<x), dann
ändern sich die Funktionswerte " in negative Richtung " bzw. "in positive Richtung ". Hast Du das so ungefähr gemeint?
Also es gibt Punkte in der Umgebung, in denen die Funktionswerte positiv
sind und es gibt Punkte in der Umgebung, in denen die Funktionswerte negativ sind.
Das hört sich ähnlich mit der Indefinitheit einer Matrix an,
woraus die Existenz eines Sattelpunktes folgen würde.
Ich weiß jedoch nicht, ob das äquivalente Indikatoren für die Existenz eines Sattelpunktes sind.
MfG
Igor
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> Hallo,
>
> wenn ich Punkte p:=(x,y) in einer beliebigen Umgebung von
> (0,0) anschaue, dann [mm]x^{3}-y^{3}[/mm] kann > 0 , aber auch = 0
> oder < 0 sein,
> denn weicht x von y wenig aber hinreichend ab (also x<y
> oder y<x), dann
> ändern sich die Funktionswerte " in negative Richtung "
> bzw. "in positive Richtung ". Hast Du das so ungefähr
> gemeint?
>
> Also es gibt Punkte in der Umgebung, in denen die
> Funktionswerte positiv
> sind und es gibt Punkte in der Umgebung, in denen die
> Funktionswerte negativ sind.
Hallo,
ja, und weil das in jeder Umgeung v. (0,0) so ist, ist's ein Sattelpunkt und kein Max oder Min.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 07.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
also für a=0 ist f(x,y)= [mm] x^{3}-y^{3}. [/mm] f(x,y) hat einen kritischen Punkt in (0,0), soweit so gut.
Mit dem Ansatz vom letzten posting wurde gezeigt, dass in jeder Umgebung von (0,0) die Funktionswerte von f in allen Punkten aus jeder Umgebung positiv oder negativ sein können.
Meine Frage ist: Ist dieses Verhalten ein Kriterium für einen Sattelpunkt?
Gibt es dafür einen Satz ?
Was ich bei wikipedia gefunden habe, war ungefähr folgendes :
Für den Fall, dass der Sattelpunkt mit den Koordinatenachsen ausgerichtet ist, lässt sich ein Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise beschreiben:
[mm] (x^{*},y^{*}) [/mm] ist ein Sattelpunkt von f , wenn
[mm] f(x,y^{*}) \le f(x^{*},y^{*}) \le (x^{*},y) [/mm] für alle (x,y) aus dem Definitionsbereich gilt.
Falls der Sattelpunkt nicht in Koordinatenrichtung ausgerichtet ist, stellt sich die obige Beziehung nach einer Koordinatentransformation ein.
In unserem Fall ist [mm] (x^{*},y^{*}) [/mm] = (0,0). Wenn ich jetzt diesen Punkt
in der Ungleichung einsetze, dann folgt:
[mm] x^{3} \le [/mm] 0 [mm] \le -y^{3}
[/mm]
Das gilt jedoch nicht für alle (x,y) aus dem Definitionsbereich.
Was meinst Du dazu?
MfG
Igor
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> Hallo,
>
> also für a=0 ist f(x,y)= [mm]x^{3}-y^{3}.[/mm] f(x,y) hat einen
> kritischen Punkt in (0,0), soweit so gut.
>
> Mit dem Ansatz vom letzten posting wurde gezeigt, dass in
> jeder Umgebung von (0,0) die Funktionswerte von f in allen
> Punkten aus jeder Umgebung positiv oder negativ sein
> können.
> Meine Frage ist: Ist dieses Verhalten ein Kriterium für
> einen Sattelpunkt?
> Gibt es dafür einen Satz ?
Hallo,
einen Satz wohl eher nicht, sondern eine Definition.
Du müßtest dazu nachschauen, wie Ihr Sattelpunkt erklärt habt.
"Meine" Def.: ein Sattelpunkt ist ein kritischer Punkt, welcher kein Extremwert ist.
Daraus ergibt sich dann, daß man die von mir geschildete Untersuchung der Funktionswerte in der Umgebung des fraglichen Punktes durchführt, hlt nachguckt, ob der kritische Punkt ein Extremwert ist oder nicht.
> Was ich bei wikipedia gefunden habe, war ungefähr folgendes
Ich halte das nicht für richtig, Stein meines Anstoßes ist "alle (x,y) aus dem Definitionsbereich".
Hier müßte doch wohl stehen: für alle (x,y) in einer Umgebung von [mm] (x^{\*}, y^{\*}).
[/mm]
> Für den Fall, dass der Sattelpunkt mit den
> Koordinatenachsen ausgerichtet ist, lässt sich ein
> Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise
> beschreiben:
>
> [mm](x^{*},y^{*})[/mm] ist ein Sattelpunkt von f , wenn
> [mm]f(x,y^{*}) \le f(x^{*},y^{*}) \le (x^{*},y)[/mm] für alle (x,y)
> aus dem Definitionsbereich gilt.
> Falls der Sattelpunkt nicht in Koordinatenrichtung
> ausgerichtet ist, stellt sich die obige Beziehung nach
> einer Koordinatentransformation ein.
Eine Def. für Sattelpunkt, welche auch kursiert, und die das obige verallgemeinert, wäre diese:
Ein Punkt heißt Sattelpunkt einer Funktion, wenn es eine Gerade durch diesen Punkt gibt, über der die Funktion in dem Punkt ein striktes lokales Minimum hat, und wenn es eine Gerade durch diesen Punkt gibt, in welcher die Funktion ein lokales Maximum hat.
Dies paßt (abgesehen von der Sache mit der Umgebung) dazu, was Du in der Wikipedia über die in Richtung der Koordinatenachsen ausgerichteten Sattelpunkte liest.
> In unserem Fall ist [mm](x^{*},y^{*})[/mm] = (0,0). Wenn ich jetzt
> diesen Punkt
> in der Ungleichung einsetze, dann folgt:
>
> [mm]x^{3} \le[/mm] 0 [mm]\le -y^{3}[/mm]
>
> Das gilt jedoch nicht für alle (x,y) aus dem
> Definitionsbereich.
>
> Was meinst Du dazu?
Das könnte ja daran liegen, daß der Sattelpunkt nicht "entlang der Koordinatenachsen" ausgerichtet ist - aber für andere Achsen funktioniert das genauso wenig.
Wenn Du Dir in der Ebene [mm] \IR^2 [/mm] mal die Bereiche anmalst, über denen f positiv ist, dann siehst Du, daß es eine Halbebene ist, Grenze ist die Gerade y=x.
Nach der Def. (mit den Geraden und den strikten Extemwerten) wäre im Punkt (0,0) kein Sattelpunkt.
Ich sage: Dreh- und Angelpunkt ist die verwendete Definition von Sattelpunkt.
Gruß v. Angela
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> MfG
> Igor
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