Kritische Stellen f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 So 24.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle kritischen Stellen der unten angegebenen Funktion. Bestimmen Sie außerdem das globale Minimum und das globale Maximum. Skizzieren Sie den Definitionsbereich.
[mm] D_f [/mm] = [mm] \{(x,y)\in \IR^2: 0 \le y \le 1 - x^2\}
[/mm]
f: [mm] D_f\to\IR, [/mm] f(x,y) = [mm] sin(\pi(x^2+y))+cos(\pi*y) [/mm] |
Hallo, ich habe f nach x und y abgeleitet und komme auf
f'_x = [mm] 2\pi [/mm] x [mm] cos(\pi(x^2+y))
[/mm]
f'_y = [mm] \pi(cos(\pi(x^2+y))-sin(\pi [/mm] y).
(Habe ich mit WolframAlpha überprüft, sollte so also korrekt sein.)
Nun gilt es, die kritischen Stellen der Funktion zu finden. Wenn mich nicht alles täuscht, sind das doch die Stellen, an denen die beiden Ableitungen beide Null sind? Oder nur eine von beiden? Bitte kläre mich jemand auf; Google spuckt nichts großartiges aus. Vermutlich haben diese Stellen noch einen geläufigeren Namen, während unser Prof. sie nur "kritische Stellen" nennt?
Ich verstehe auch gerade nicht, wie ich die Nullstellen beider Ausdrücke überhaupt finden soll. Wie geht man am klügsten vor? Hilfe!
Gruß,
Paul.
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Hallo Paul,
das Problem hast Du schon richtig erkannt, Du musst es nur noch lösen...
> Bestimmen Sie alle kritischen Stellen der unten angegebenen
> Funktion. Bestimmen Sie außerdem das globale Minimum und
> das globale Maximum. Skizzieren Sie den
> Definitionsbereich.
> [mm]D_f[/mm] = [mm]\{(x,y)\in \IR^2: 0 \le y \le 1 - x^2\}[/mm]
> f:
> [mm]D_f\to\IR,[/mm] f(x,y) = [mm]sin(\pi(x^2+y))+cos(\pi*y)[/mm]
> Hallo, ich habe f nach x und y abgeleitet und komme auf
> f'_x = [mm]2\pi[/mm] x [mm]cos(\pi(x^2+y))[/mm]
> f'_y = [mm]\pi(cos(\pi(x^2+y))-sin(\pi[/mm] y).
> (Habe ich mit WolframAlpha überprüft, sollte so also
> korrekt sein.)
Da fehlt eine Klammer bei f'_y, ganz am Ende.
> Nun gilt es, die kritischen Stellen der Funktion zu finden.
> Wenn mich nicht alles täuscht, sind das doch die Stellen,
> an denen die beiden Ableitungen beide Null sind? Oder nur
> eine von beiden? Bitte kläre mich jemand auf; Google
> spuckt nichts großartiges aus. Vermutlich haben diese
> Stellen noch einen geläufigeren Namen, während unser
> Prof. sie nur "kritische Stellen" nennt?
Nein, das ist ein geläufiger Name, wie Dir google auch bestätigt. In der Tat sind es die Stellen, wo alle (ersten) partiellen Ableitungen Null sind.
> Ich verstehe auch gerade nicht, wie ich die Nullstellen
> beider Ausdrücke überhaupt finden soll. Wie geht man am
> klügsten vor? Hilfe!
Aus f'_x findest Du doch leicht eine Bedingung für (x,y), genauer: unendliche viele Bedingungen gleichen Typs. Formuliere dann allgemein, wie ein Paar (x,y) aussehen muss, damit f'_x=0 wird.
Setze dann in f'_y ein und schau, ob und wann dieses zu Null wird.
Später brauchst Du noch die Hesse-Matrix und dafür auch die zweiten Ableitungen [mm] f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}.
[/mm]
Grüße
reverend
> Gruß,
> Paul.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 24.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo reverend,
danke für deine Antwort! Jetzt ist die Sache schonmal um einiges klarer.
Habe jetzt also für f'_x=0 die Bedingung (x=0, [mm] y\in \IR). [/mm] Setze ich das in f'_y ein, so erhalte ich [mm] \pi(cos(\pi y)-sin(\pi [/mm] y)) = 0, also anders gesagt [mm] cos(\pi y)=sin(\pi [/mm] y).
Hilfe! Wie soll ich das denn jetzt machen? Irgendwer einen Denkanstoß?
Hesse-Matrix hatten wir noch nicht, wenn ich mich recht entsinne. Aber das geht ja sicherlich auch über den normalen Weg respektive Ausrechnen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen.
Gruß,
Paul.
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Hallo nochmal,
> Habe jetzt also für f'_x=0 die Bedingung (x=0, [mm]y\in \IR).[/mm]
Nein, das stimmt nicht. Du hast die Bedingung [mm] x^2+y=\bruch{2k-1}{2} [/mm] mit [mm] k\in\IZ.
[/mm]
> Setze ich das in f'_y ein, so erhalte ich [mm]\pi(cos(\pi y)-sin(\pi[/mm]
> y)) = 0, also anders gesagt [mm]cos(\pi y)=sin(\pi[/mm] y).
> Hilfe! Wie soll ich das denn jetzt machen? Irgendwer einen
> Denkanstoß?
Das stimmt zwar nicht (s.o.), aber Du wirst doch wissen, wo sich Sinus und Cosinus schneiden. So fändest Du dann auch die Lösungen obiger Gleichung.
> Hesse-Matrix hatten wir noch nicht, wenn ich mich recht
> entsinne. Aber das geht ja sicherlich auch über den
> normalen Weg respektive Ausrechnen der zweiten Ableitung an
> den kritischen Stellen.
Hm. Kommt drauf an, was der "normale" Weg denn bei einer Funktion zweier Veränderlicher ist...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 24.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
Hallo,
okay, also muss der Kosinus Null werden. Das ist der Fall, wenn [mm] (x^2+y)=k [/mm] - 1/2, [mm] k\in\IZ. [/mm] Das ist mir nun klar, danke! Aber x=0,y=beliebig wäre doch trotzdem eine Nullstelle (wenn auch nicht die Komplettlösung des Ausdrucks), oder nicht?
Zu [mm] sin(\alpha)=\cos(\alpha): [/mm] WolframAlpha hat mich genatzt. Gibt man den Ausdruck mit Variablennamen "a" ein, so erhält man eine ziemlich wilde Formel. Wählt man stattdessen "x", so spuckt er [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] aus. Naja, doch selbst schuld; wusste den Wert nicht aus dem Kopf.
Dann erhalte ich also [mm] cos(\pi [/mm] k - [mm] \frac{\pi}{2}) [/mm] = [mm] sin(\pi [/mm] y). [mm] cos(\alpha-\frac{\pi}{2}) [/mm] = [mm] sin(\alpha), [/mm] also kommt [mm] sin(k\pi))=sin(y\pi) \gdw [/mm] k=y heraus.
Doch was sagt mir das nun? Wie würde ich nun *ganz konkret* meine Gesamtlösung formulieren?
Nochmal zur Hesse-Matrix/"normaler Weg": Ja, ähm, ich dachte ich bekomme konkrete Koordinaten herraus und kann dann einfach die zweite Ableitung an diesne Punkten berechnen, um den Typ des EP zu bestimmen. Aber es scheint ja doch nicht so einfach zu sein...
Gruß,
Paul.
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Hallo,
> okay, also muss der Kosinus Null werden. Das ist der Fall,
> wenn [mm](x^2+y)=k[/mm] - 1/2, [mm]k\in\IZ.[/mm] Das ist mir nun klar, danke!
> Aber x=0,y=beliebig wäre doch trotzdem eine Nullstelle
> (wenn auch nicht die Komplettlösung des Ausdrucks), oder
> nicht?
Ja, das ist richtig.
> Dann erhalte ich also [mm]cos(\pi[/mm] k - [mm]\frac{\pi}{2})[/mm] = [mm]sin(\pi[/mm]
> y). [mm]cos(\alpha-\frac{\pi}{2})[/mm] = [mm]sin(\alpha),[/mm] also kommt
> [mm]sin(k\pi))=sin(y\pi) \gdw[/mm] k=y heraus.
Versteh ich noch nicht ganz. Ich hatte da [mm] y\in\IZ [/mm] heraus, ganz unabhängig von k. Schließlich ist [mm] \cos{\left((\pi k-\bruch{\pi}{2}\right)}=0
[/mm]
> Doch was sagt mir das nun? Wie würde ich nun *ganz
> konkret* meine Gesamtlösung formulieren?
Na, beide partiellen Ableitungen sind Null, wenn [mm] y\in\IZ\wedge x^2+y=\bruch{2k-1}{2},\ k\in\IZ.
[/mm]
Und dann wäre da noch der Lösungszweig mit x=0, y beliebig weiter zu verfolgen.
> Nochmal zur Hesse-Matrix/"normaler Weg": Ja, ähm, ich
> dachte ich bekomme konkrete Koordinaten herraus und kann
> dann einfach die zweite Ableitung an diesne Punkten
> berechnen, um den Typ des EP zu bestimmen. Aber es scheint
> ja doch nicht so einfach zu sein...
Nein, nicht ganz.
Grüße
reverend
PS: Es ist besser, Du kopierst die bisherigen Ergebnisse auch in Deine weiteren Fragen. Sonst kann niemand anders in die Diskussion einsteigen. Es ist jetzt schon mühsam genug.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 24.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
Danke dir!
Hast natürlch recht, ich kann [mm] cos(k\pi-\frac{\pi}{2}) [/mm] direkt und ohne Umweg über k streichen.
Verfolge ich nun x=0, so komme ich auf [mm] y=\frac{1}{4}, [/mm] was für eine schöne Lösung. Das kann ich direkt als meinen Nablavektor kritische Stelle notieren.
Im Gegensatz zu der weiteren Lösung [mm] x^2+y=k-\frac{1}{2}, k\in\IZ.
[/mm]
Das macht mich gerade ziemlich stutzig.--wie gesagt, wüsste nichtmal wie ich das jetzt vernünftig in meinen Nablavektor packen soll. Ich wüsste jetzt nicht, wie ich mit diesem Wulst vernünftig meine EP bestimmen kann. Wobei es ja sicher richtig ist und zur Lösung dazugehört; schließlich haben wir uns ja nun im Laufe dieser Diskussion erarbeitet!
Daher meine Frage, wie die Lösung dann konkret auf dem Papier in einer Zeile niederzuschreiben wäre.
EDIT: Kann es sein, dass der in der Aufgabenstellung gegebene Definitionsbereich die kompliziertere Lösung ausschließt? *grübel*
Bitte sag mal jemand was. 
Gruß,
Paul.
EDIT: Ich bin heute offensichtlich nicht ganz auf dem Dampfer.
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Hallo PaulW89,
> Danke dir!
> Hast natürlch recht, ich kann [mm]cos(k\pi-\frac{\pi}{2})[/mm]
> direkt und ohne Umweg über k streichen.
> Verfolge ich nun x=0, so komme ich auf [mm]y=\frac{1}{4},[/mm] was
> für eine schöne Lösung. Das kann ich direkt als meinen
> Nablavektor kritische Stelle notieren.
> Im Gegensatz zu der weiteren Lösung [mm]x^2+y=k-\frac{1}{2}, k\in\IZ.[/mm]
>
> Das macht mich gerade ziemlich stutzig.--wie gesagt,
> wüsste nichtmal wie ich das jetzt vernünftig in meinen
> Nablavektor packen soll. Ich wüsste jetzt nicht, wie ich
> mit diesem Wulst vernünftig meine EP bestimmen kann. Wobei
> es ja sicher richtig ist und zur Lösung dazugehört;
> schließlich haben wir uns ja nun im Laufe dieser
> Diskussion erarbeitet!
> Daher meine Frage, wie die Lösung dann konkret auf dem
> Papier in einer Zeile niederzuschreiben wäre.
>
> EDIT: Kann es sein, dass der in der Aufgabenstellung
> gegebene Definitionsbereich die kompliziertere Lösung
> ausschließt? *grübel*
> Bitte sag mal jemand was.
Die komplizierteren Lösungen werden nicht ausgeschlossen,
sondern nur eingeschränkt.
>
> Gruß,
> Paul.
>
> EDIT: Ich bin heute offensichtlich nicht ganz auf dem
> Dampfer.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:44 Di 26.04.2011 | | Autor: | PaulW89 |
Vielen Dank für eure Antworten bis hier hin. Ich hoffe, darf noch einmal nachhaken.
Wie kann ich ohne Hesse-Matrix das globale Minimum und globale Maximum der Funktion ermitteln? Noch mal zur Übersicht:
[mm] D_f [/mm] = [mm] \{(x,y)\in \IR^2: 0 \le y \le 1 - x^2\}
[/mm]
f: [mm] D_f\to\IR, [/mm] f(x,y) = [mm] sin(\pi(x^2+y))+cos(\pi*y)
[/mm]
Die beiden zweiten partiellen Ableitungen habe ich berechnet, nur wie geht es nun weiter?
Viele Grüße,
Paul.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mi 27.04.2011 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du die kritischen Stellen hast, dann kannst Du für die die Funktionswerte berechnen. Das wären die Kandidaten für lokale Extrema. Nun kannst Du die Funktion in der Nähe betrachten: was passiert, wenn x oder y etwas größer oder kleiner sind? Wenn dann der Funktionswert in allen Fällen kleiner wird, dann hast Du wahrscheinlich ein Maximum gefunden.
Für die globalen Extrema muss Du noch den Rand des Definitionsbereichs untersuchen. Allerdings sehe ich auf den ersten Blick dafür keinen schnellen Weg.
So würde ich ganz anders loslegen:
für welche Paare (x,y) nimmt die Funktion die Werte +2 oder -2 an? Gibt es Paare, die im Definitionsbereich liegen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 28.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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