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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:58 Di 10.03.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo,
momentan stehe ich etwas auf dem Schlauch.
Wenn ich eine Kurve x(t) habe und ihre Krümmung [mm] $x''(t)=\frac{d^2 x(t)}{dt^2}$. [/mm] Jetzt würde ich mich interessieren wie sich die Eigenschaft stark gekrümmt zu sein im Wert der Krümmung wiederspiegelt.
Ist der Wert der Krümmung besonders groß, wenn die Kurve stark gekrümmt ist? Ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, denn die Krümmung einer fast geraden Kurve ist ja fast 0, kann man nun den Rückschluss ziehen, dass bei starker Krümmung der Wert der zweiten Ableitung groß ist oder gilt das i.A nicht?
Danke im Voraus
Matthias
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Hiho,
> Ist der Wert der Krümmung besonders groß, wenn die Kurve stark gekrümmt ist?
sofern die Funktion zweimal differenzierbar ist, ja.
Wobei "Wert" genauer zu konkretisieren ist.
D.h. je größer die zweite Ableitung betragsmäßig ist, desto stärker gekrümmt ist die Kurve.
Denn die Krümmung kann ja sowohl in positiver richtung "groß" sein, als auch in negativer Richtung.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 10.03.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo und danke für deine Antwort.
Eine weiter Frage hätte sich ergeben.
In meinem alten Ana-Skrip habe ich gelesen, dass die Kurve für die Krümmung bogenlängenparametrisiert sein muss? Ist das zwingend erforderlich? Ich möchte nämlich zeigen, dass eine spezielle Kurve bei stark-gekrümmten stellen langsamer druchlaufen wird. Dazu kann ich keine bogenlängenparametrisierte Kurve brauchen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 10.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo und danke für deine Antwort.
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> Eine weiter Frage hätte sich ergeben.
> In meinem alten Ana-Skrip habe ich gelesen, dass die Kurve
> für die Krümmung bogenlängenparametrisiert sein muss?
> Ist das zwingend erforderlich? Ich möchte nämlich zeigen,
> dass eine spezielle Kurve bei stark-gekrümmten stellen
> langsamer druchlaufen wird. Dazu kann ich keine
> bogenlängenparametrisierte Kurve brauchen.
Nun, die Krümmung is nur dann einfach die zweite Ableitung, wenn der Parameter die Bogenlänge ist. Dann ist die Durchlauf"geschwindigkeit" als Verhältnis von Wegdifferenz zu Parameterdifferenz natürlich konstant.
Ansonsten ist sie von der Parametrisierung abhängig und du kannst nicht allgemein für jede beliebige Parametrisierung behaupten, dass die Durchlaufgeschwindigkeit indirekt proportional zur Krümmung ist.
Die entsprechenden Formel für die Krümmung bei beliebiger Parametrisierung solltest du nachschlagen, wobei es darauf ankommt, ob du es mit einer planaren oder einer Raumkurve zu tun hast.
Gruß RMix
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