Kruemmung der Astroide gesucht < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mi 15.07.2009 | | Autor: | andreji |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Laenge der Astroide, die durch
x(t) = cos3 t, y(t) = sin3 t mit 0 ≤ t ≤ 2pi definiert
ist.
Bestimmen Sie die Kruemmung der Astroide f¨ur
0 < t < pi/2.
2 .
[Externes Bild http://img521.imageshack.us/img521/2839/astroid.png] |
Hallo,
kann mir bitte jemand bei der Berechnung der Krümmung einen Tipp geben, wie man das berechnet?
Lässt sich die Länge einfach mit l= 6 * 1 berechnen?
mfg
Andrej
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mi 15.07.2009 | | Autor: | andreji |
Hi Patrick,
danke für deine Antwort. Wenn man die Formel von Wikipedia nun anwenden, was ist dann für die gegeben Aufgabe mein f(phi)?
Gruß
Andrej
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Du benötigst nur den Fall1, da deine Kurve in Parameterdarstellung gegeben ist. Dabei ist x die erste Komponente und y die zweite. Die Punkte stehen für die erste bzw. zweite Ableitung.
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Hallo Andrej,
> Bestimmen Sie die Laenge der Astroide, die durch
> x(t) = cos3 t, y(t) = sin3 t mit 0 ≤ t ≤ 2pi
> definiert
> ist.
> Bestimmen Sie die Kruemmung der Astroide f¨ur
> 0 < t < pi/2.
> 2 .
> [Externes Bild http://img521.imageshack.us/img521/2839/astroid.png]
> Hallo,
>
> kann mir bitte jemand bei der Berechnung der Krümmung
> einen Tipp geben, wie man das berechnet?
> Lässt sich die Länge einfach mit l= 6 * 1 berechnen?
Ich hoffe, du meinst [mm] $l=6\cdot{}\red{\pi}$
[/mm]
>
> mfg
> Andrej
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 Mi 15.07.2009 | | Autor: | andreji |
Hi Schachuzipus,
ne ich meinte eigentlich l=6 * |a| (http://de.wikipedia.org/wiki/Astroide).
Gruß
Andrej
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Hallo,
ah, ok, ich hatte deine Kurve als [mm] $\alpha(t)=(\cos(3t),\sin(3t))$ [/mm] interpretiert, die tatsächlich die Länge [mm] $6\pi$ [/mm] hat und nicht als [mm] $\alpha(t)=(\cos^3(t),\sin^3(t))$, [/mm] was du wohl meintest ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Mi 15.07.2009 | | Autor: | andreji |
Ja richtig. Sorry die Dreien müssen hoch. Also die Länge ist dann wohl 6. Ich weiß nun aber nicht, ob das als Lösung des Aufgabenteils reicht. Wie kann man denn diese Formel herleiten?
Gruß
Andrej
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Hallo nochmal,
berechne doch einfach mal die Bogenlänge ...
[mm] $l(\alpha)=\int\limits_{0}^{2\pi}{||\alpha'(t)|| \ dt}=\int\limits_{0}^{2\pi}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \ dt}$
[/mm]
Dann kommst du auf 6 ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Mi 15.07.2009 | | Autor: | andreji |
ok du hast Recht, danke!
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Berechnung der Krümmung für ebene Kurven