Krümmungsverhalten & Asymptote < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Führen Sie eine Kurvendiskussion ducrch für
f(x) = [mm] \bruch{x^{2}+1}{e^{\vmat{ x-2 }}} [/mm] |
Wie berechnet man hier das Krümmungsverhalten der funktion? Wie berechnet man das Krümmungsverhalten von Funktionen allgemein? Wie berechnet man Asymptoten?
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Hallo,
nette Begrüßung! Nettes Schlusswort! Sehr freundlich gestellte Frage! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Führen Sie eine Kurvendiskussion ducrch für
>
> f(x) = [mm]\bruch{x^{2}+1}{e^{\vmat{ x-2 }}}[/mm]
> Wie berechnet man
> hier das Krümmungsverhalten der funktion? Wie berechnet
> man das Krümmungsverhalten von Funktionen allgemein?
Berechne [mm]f''(x)[/mm]
Ist [mm]f''(x_0)>0[/mm], so ist der Graph von [mm]f[/mm] linksgekrümmt (konvex)
Ist [mm]f''(x_0)<0[/mm], so ist der Graph von [mm]f[/mm] rechtsgekrümmt (konkav)
> Wie berechnet man Asymptoten?
Untersuche auf Polstellen (senkrechte Asymptoten) und das Verhalten von [mm]f(x)[/mm] für [mm]x\to\pm\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
Berechne $ f''(x) $
Ist $ [mm] f''(x_0)>0 [/mm] $, so ist der Graph von $ f $ linksgekrümmt (konvex)
was ist denn das [mm] x_0 [/mm] hier in dem fall? kann ich das beliebig wählen?
Ist $ [mm] f''(x_0)<0 [/mm] $, so ist der Graph von $ f $ rechtsgekrümmt (konkav)
was ist denn das [mm] x_0 [/mm] hier in dem fall? kann ich das beliebig wählen oder wie komme ich auf die entsprechende stelle?
kannst du mir bitte auch noch erklären wie man auf untersucht, ob schräge asymptoten existieren, wiel da funktioniert das glaub ich anders, odeR?
danke und lg
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Hallo mwieland,
> Berechne [mm]f''(x)[/mm]
>
> Ist [mm]f''(x_0)>0 [/mm], so ist der Graph von [mm]f[/mm] linksgekrümmt
> (konvex)
>
> was ist denn das [mm]x_0[/mm] hier in dem fall? kann ich das
> beliebig wählen?
>
> Ist [mm]f''(x_0)<0 [/mm], so ist der Graph von [mm]f[/mm] rechtsgekrümmt
> (konkav)
>
> was ist denn das [mm]x_0[/mm] hier in dem fall? kann ich das
> beliebig wählen oder wie komme ich auf die entsprechende
> stelle?
[mm] x_0 [/mm] steht einfach für die (beliebige) Stelle, an der die
Krümmung untersucht wird. Du könntest hier ohne
Weiteres auch einfach x als Variable benützen.
Du musst das Vorzeichenverhalten von f''(x) all-
gemein untersuchen.
> kannst du mir bitte auch noch erklären wie man auf
> untersucht, ob schräge asymptoten existieren, wiel da
> funktioniert das glaub ich anders, odeR?
Das kommt dann in Frage, wenn keine waagrechten
Asymptoten existieren. Man kann dann zuerst den
Grenzwert m der Steigung f'(x) (etwa für [mm] x\to\infty)
[/mm]
suchen. Falls der existiert, könnte allenfalls eine
schräge Asymptote mit einer Gleichung y=m*x+b
existieren. Dazu müsste auch noch der Grenzwert
[mm] b=\limes_{x\to\infty}(f(x)-m*x) [/mm] existieren.
> danke und lg
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
also wenn waagrechte asymptoten existieren brauch ich auf schräge garnicht untersuchen oder? auch nicht wenn es definitionslücken gäbe 8rede hier vom allgemeinen fall)?
dank und lg
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> also wenn waagrechte asymptoten existieren brauch ich auf
> schräge garnicht untersuchen oder?
Klar.
Ein Funktionsgraph kann (z.B. für [mm] x\to-\infty) [/mm] ja nicht gleich-
zeitig eine waagrechte und eine schräge Asymptote
haben. Also sucht man sinnvollerweise zuerst nach einer
allfälligen waagrechten Asymptote - weil dies einfacher ist.
Gibt's eine, muss man (auf der gleichen Seite) eine schräge
gar nicht mehr suchen.
> auch nicht wenn es
> definitionslücken gäbe 8rede hier vom allgemeinen fall)?
Bei einer Definitionslücke könnte allenfalls eine vertikale
Asymptote (Polgerade) existieren, sicher keine schräge
oder waagrechte.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Di 21.06.2011 | | Autor: | mwieland |
Hätte da bitte noch eine Frage dazu:
> Ist [mm]f''(x_0)>0[/mm], so ist der Graph von [mm]f[/mm] linksgekrümmt
> (konvex)
>
> Ist [mm]f''(x_0)<0[/mm], so ist der Graph von [mm]f[/mm] rechtsgekrümmt
> (konkav)
Wie wähle ich hier ein geeignetes [mm] x_0? [/mm] wähle ich das aufgrund von extrema und wendepunkten oder? denn ich denke, da will ich ja untersuchen, wie sich das zB links oder rechts von einem Extremum verhält, odeR?
vielen dank und lg
markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Di 21.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du suchst Wendepunkte f''=0
nur bei Wendeponkten ändert sich die Krümmung.
2. jetzt das Verhalten links und rechts der Wendepkte.
3. kein Wendepkt, Funktion ist überall gleich gekrümmt
Zusatz:
wenn du links von f''=0 ein max hast, weisst du schon wie die fkt da gekrümmt ist!
Gruss leduart
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> Hallo
> 1. du suchst Wendepunkte f''=0
> nur bei Wendepunkten ändert sich die Krümmung.
> 2. jetzt das Verhalten links und rechts der Wendepkte.
> 3. kein Wendepkt, Funktion ist überall gleich gekrümmt
> Zusatz:
> wenn du links von f''=0 ein max hast, weisst du schon wie
> die fkt da gekrümmt ist!
> Gruss leduart
Hallo,
bei den meisten Funktionsgraphen (außer Geraden
und Kreisbögen) ändert sich die Krümmung
[mm] k=\frac{1}{r} [/mm] laufend. Auch dass die Krümmung nur bei
Wendepunkten von konkav zu konvex oder umgekehrt
wechseln kann, gilt nicht allgemein. Ein solcher
Wechsel kann auch an einer Stelle geschehen, wo
die Kurve z.B. nicht differenziarbar ist.
Im vorliegenden Beispiel könnte dies etwa an
der Knickstelle [mm] x_0=2 [/mm] der Fall sein.
LG Al
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