Krullscher Durchschnittsatz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 16.12.2011 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Aussage des Krullschen Durchschnittssatzes für nicht noethersche Ringe im allgemeinen nicht gilt. |
Heyho!
Also der Krullsche Durchschnittsatz besagt: Ist A ein noetherscher Ring, I ein echtes Ideal, M endlich erzeugter A-Modul, dann ist der Kern der natürlichen Abbildung von M in die I-adische Vervollständigung von M [mm] \{x\in M| (1-a)*x=0 für ein a\in I\}
[/mm]
So und nun brauch ich irgendein Beispiel eines nicht noetherschen Rings, sodass der Kern anders aussieht. Bei nem nicht noetherschen Ring denk ich immer zunächst an den Polynomring in unendlich vielen Variablen, das scheint da aber auch nicht so gut hinzuhauen... mit [mm] A=\IC[X_{n}|n\in\IN]=M [/mm] und [mm] I=(X_{n}|n\in\IN) [/mm] klappts nicht. Das Problem ist wohl, dass man Nullteiler braucht... Irgendwie fehlt mir die Kreativität mir da was Vernünftiges auszudenken.
Im Internet hab ich ne Aufgabe gefunden unter dem Titel "Krullscher Durchschnittssatz", in der eine bestimmte Folgerung für nicht noethersche Ringe widerlegt werden soll...Ob das nun aber tatsächlich der KDS ist? Denn irgendwie erkenn ich da nicht den Zusammenhang, da steht eine Anleitung dabei wie man das anstellen soll...Man nimmt den Ring der Funktionskeime um 0 (in [mm] \IR), [/mm] soll seine maximalen Ideale bestimmen (ist der nicht lokal? ich meine mich an sowas erinnern zu können) und dann den Keim der glatten Fortsetzung von [mm] x\mapsto exp(-1/x^{2}) [/mm] untersuchen...Mmmh, was hat das nur mit dem KDS zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 16.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Aussage des
> Krullschen Durchschnittssatzes für nicht noethersche Ringe
> im allgemeinen nicht gilt.
>
> Also der Krullsche Durchschnittsatz besagt: Ist A ein
> noetherscher Ring, I ein echtes Ideal, M endlich erzeugter
> A-Modul, dann ist der Kern der natürlichen Abbildung von M
> in die I-adische Vervollständigung von M [mm]\{x\in M| (1-a)*x=0 für ein a\in I\}[/mm]
Oder anders gesagt: [mm] $\bigcap_{n\in\IN} I^n [/mm] = [mm] \{x\in M| (1-a)*x=0 für ein a\in I\}$.
[/mm]
> So und nun brauch ich irgendein Beispiel eines nicht
> noetherschen Rings, sodass der Kern anders aussieht. Bei
> nem nicht noetherschen Ring denk ich immer zunächst an den
> Polynomring in unendlich vielen Variablen, das scheint da
> aber auch nicht so gut hinzuhauen... mit
> [mm]A=\IC[X_{n}|n\in\IN]=M[/mm] und [mm]I=(X_{n}|n\in\IN)[/mm] klappts nicht.
> Das Problem ist wohl, dass man Nullteiler braucht...
> Irgendwie fehlt mir die Kreativität mir da was
> Vernünftiges auszudenken.
>
> Im Internet hab ich ne Aufgabe gefunden unter dem Titel
> "Krullscher Durchschnittssatz", in der eine bestimmte
> Folgerung für nicht noethersche Ringe widerlegt werden
> soll...Ob das nun aber tatsächlich der KDS ist? Denn
Schwer zu sagen ohne die Aufgabe zu sehen...
> irgendwie erkenn ich da nicht den Zusammenhang, da steht
> eine Anleitung dabei wie man das anstellen soll...Man nimmt
> den Ring der Funktionskeime um 0 (in [mm]\IR),[/mm] soll seine
> maximalen Ideale bestimmen (ist der nicht lokal? ich meine
> mich an sowas erinnern zu können)
Ja, ist er.
> und dann den Keim der
> glatten Fortsetzung von [mm]x\mapsto exp(-1/x^{2})[/mm]
> untersuchen...Mmmh, was hat das nur mit dem KDS zu tun?
Zeige, dass diese Funktion in jeder Potenz des maximalen Ideals drinnenliegt (Tipp dazu: die Taylorreihe der Funktion im Entwicklungspunkt 0 ist identisch 0). Und dann zeige, dass die Funktion ein Nichtnullteiler ist (das ist einfach, da sie nur an einer einzigen Stelle den Wert 0 annimmt): damit liegt sie nicht in der Menge oben drin.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 So 18.12.2011 | | Autor: | statler |
Hallo,
genau dieses Gegenbeispiel findet sich in Atiyah-MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, p.110, Theorem 10.17, Remarks.
Wenn dir das Buch nicht zugänglich ist (oder sonst jemand das wünscht), kann ich eine Übersetzung hier einstellen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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