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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:32 Mo 09.04.2012 | | Autor: | xantavis |
| Aufgabe | | [mm] x^2 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] = 252 |
Also, als Lösungsvorschlag habe ich auf Gutefrage.net bekommen:
Vielleicht hilft dir folgendes noch ein bisschen weiter. Danach kann man zumindest gut abschätzen, wo eine Nullstelle sein muss und kann auch gut über einen Komponentenvergleich auf die Lösung X=6 kommen.
Gleichung: [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] – Z = 0 ; mit Z = 252
Nullstelle bei x = a bzw. (x–a) = 0
=> [mm] (x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] – Z) : (x-a) = [mm] x^2 [/mm] + (a+1) x + [mm] (a^2+a)
[/mm]
- [ [mm] x^3 [/mm] – [mm] ax^2 [/mm] ]
____________________
(a+1) [mm] x^2
[/mm]
- [ (a+1) [mm] x^2 [/mm] – a x (a +1) ]
__________________________________________
[mm] x(a^2 [/mm] + a)
- [ x [mm] (a^2 [/mm] + a) – [mm] (a^3 [/mm] + [mm] a^2) [/mm] ]
_____________________________________________
[mm] (a^3 [/mm] + [mm] a^2) [/mm] - Z
Und damit das eine Lösung hat muss [mm] (a^3 [/mm] + [mm] a^2) [/mm] - Z = 0 sein
=> Z = [mm] (a^3 [/mm] + [mm] a^2) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] (a + 1) = [mm] a^3 [/mm] [1 + (1/a)]
=> Z = [mm] a^3 [/mm] [1 – (1/a)] …./ in Nährung: [1 – (1/a)] → 1
=> Z > [mm] a^3 [/mm] bzw. a < Z^(1/3)
Mit Z = 252 ergibt sich daraus: a < 6,316…
Zerlegung von Z = 252 in Primzahlen
252 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = [mm] 6^2 [/mm] * 7 = [mm] 6^2 [/mm] (6 +1)
Da gilt: Z = [mm] a^2 [/mm] (a+1) ergibt sich durch entsprechenden Vergleich mit 252 = [mm] 6^2 [/mm] (6+1), dass es eine Lösung gibt für a = 6
Wäre noch zu prüfen, ob: [mm] x^2 [/mm] + (a+1) x + [mm] (a^2 [/mm] +a) = [mm] x^2 [/mm] + 7x + 42 noch weitere reale Nullstellen besitzt, was über die quadratische Ergänzung erfolgen kann.
[x + [mm] (7/2)]^2 [/mm] - [mm] (7/2)^2 [/mm] + 42 = 0 <=> [x + [mm] (7/2)]^2 [/mm] = (49 – 84)/2 = - 35/2
In diesem Beispiel kommt man allerdings zu dem Ergebnis, dass es keine weitere reelle Lösung gibt.
Jetzt habe ich die Frage, ob man alle diese Schritte durchführen muss, oder ob man nicht einfach so rechnen könnte:
252 = 2·2·3·3·7
[mm] x^2+x^3 [/mm] = [mm] x^2(x+1)
[/mm]
Umformen
[mm] x^2(x+1) [/mm] = [mm] 6^2(6+1)
[/mm]
Oder geht das bei schwierigereren Aufgaben nicht mehr so einfach. Wenn das so ist, kann mir jemand ein Beispiel geben?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.gutefrage.net/frage/wie-loest-man-diese-matheaufgabe-mathe-schwierig-loesung]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mo 09.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x^2[/mm] + [mm]x^3[/mm] = 252
> Also, als Lösungsvorschlag habe ich auf Gutefrage.net
> bekommen:
> Vielleicht hilft dir folgendes noch ein bisschen weiter.
> Danach kann man zumindest gut abschätzen, wo eine
> Nullstelle sein muss und kann auch gut über einen
> Komponentenvergleich auf die Lösung X=6 kommen.
>
> Gleichung: [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] – Z = 0 ; mit Z = 252
>
> Nullstelle bei x = a bzw. (x–a) = 0
>
> => [mm](x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] – Z) : (x-a) = [mm]x^2[/mm] + (a+1) x + [mm](a^2+a)[/mm]
>
> - [ [mm]x^3[/mm] – [mm]ax^2[/mm] ]
> ____________________
>
> (a+1) [mm]x^2[/mm]
>
> - [ (a+1) [mm]x^2[/mm] – a x (a +1) ]
>
> __________________________________________
>
> [mm]x(a^2[/mm] + a)
>
> - [ x [mm](a^2[/mm] + a) – [mm](a^3[/mm] + [mm]a^2)[/mm] ]
>
> _____________________________________________
>
> [mm](a^3[/mm] + [mm]a^2)[/mm] - Z
>
> Und damit das eine Lösung hat muss [mm](a^3[/mm] + [mm]a^2)[/mm] - Z = 0
Ich glaub es nicht !
Der Autor der grünen Zeilen bez. mit a eine Lösung der Gleichung [mm] x^3+x^2=Z.
[/mm]
Das kann er machen. Dann kommt er mit viel Mühe zur großartigen Erkenntnis, das gelten muß: [mm] a^3+a^2=Z.
[/mm]
Waaaahnsinn !
> sein
>
> => Z = [mm](a^3[/mm] + [mm]a^2)[/mm] = [mm]a^2[/mm] (a + 1) = [mm]a^3[/mm] [1 + (1/a)]
>
> => Z = [mm]a^3[/mm] [1 – (1/a)] …./ in Nährung: [1 – (1/a)]
> → 1
>
> => Z > [mm]a^3[/mm] bzw. a < Z^(1/3)
>
> Mit Z = 252 ergibt sich daraus: a < 6,316…
>
> Zerlegung von Z = 252 in Primzahlen
>
> 252 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = [mm]6^2[/mm] * 7 = [mm]6^2[/mm] (6 +1)
>
> Da gilt: Z = [mm]a^2[/mm] (a+1) ergibt sich durch entsprechenden
> Vergleich mit 252 = [mm]6^2[/mm] (6+1), dass es eine Lösung gibt
> für a = 6
>
> Wäre noch zu prüfen, ob: [mm]x^2[/mm] + (a+1) x + [mm](a^2[/mm] +a) = [mm]x^2[/mm] +
> 7x + 42 noch weitere reale Nullstellen besitzt, was über
> die quadratische Ergänzung erfolgen kann.
>
> [x + [mm](7/2)]^2[/mm] - [mm](7/2)^2[/mm] + 42 = 0 <=> [x + [mm](7/2)]^2[/mm] = (49
> – 84)/2 = - 35/2
>
> In diesem Beispiel kommt man allerdings zu dem Ergebnis,
> dass es keine weitere reelle Lösung gibt.
>
> Jetzt habe ich die Frage, ob man alle diese Schritte
> durchführen muss,
Nein.
> oder ob man nicht einfach so rechnen
> könnte:
>
> 252 = 2·2·3·3·7
> [mm]x^2+x^3[/mm] = [mm]x^2(x+1)[/mm]
> Umformen
> [mm]x^2(x+1)[/mm] = [mm]6^2(6+1)[/mm]
Das kannst Du machen.
>
> Oder geht das bei schwierigereren Aufgaben nicht mehr so
> einfach.
Bei anderen Aufgaben dieser Art geht das i.a. nicht so.
> Wenn das so ist, kann mir jemand ein Beispiel
> geben?
[mm] x^3+x^2=1
[/mm]
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.gutefrage.net/frage/wie-loest-man-diese-matheaufgabe-mathe-schwierig-loesung]
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