Kubische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Do 15.05.2008 | | Autor: | Yusuf |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey.
Ich hab mir gerade überlegt, wie man denn wohl die oben geschriebene Gleichung auflöst. Ein blick auf Wikipedia hat mir gezeigt, dass das ganze "Kubische Gleichung" heißt.
Nur versteh ich rein gar nichts :( Wie löst man denn sowas jetzt auf?
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Hi Yusuf,
müsst Ihr das in der Schule machen?
Also der Ansatz sieht bei solch einer Gleichung der Form [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 [/mm] sieht so aus:
Eine Lösung der Gleichung musst du durch probieren herausfinden. Diese Lösung, also im grafischen Sinne eine Nullstelle muss im Bereich zwischen -3 und +3 liegen.
Dann führst du eine Polynomdivision mit dem Linearfaktor [mm] (x-x_{1}) [/mm] durch.
Durch die Polynomdivision entsteht eine normale quadratische Gleichung, die du dann mit einer Lösungsformel (abc- oder PQ-Formel) lösen kannst. DIe Polynomdivision habt Ihr aber wahrscheinlich noch gar nicht gemacht. Mit den Mitteln der 10. Klasse ist diese Gleichung aus deinem Beispiel gar nicht lösbar. Selbst eine Polynomdivision kann in deiner Beispielgleichung nicht durchgeführt werden, da deine Gleichung nur eine Lösung hat.
Viele Grüsse
MatheSckell
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 15.05.2008 | | Autor: | Yusuf |
Also ... Nein wir müssen das nicht in der Schule machen ;)
Es war einfach nur mal wieder eine meiner spontanen Fragen :p
Naja die Lösung der Gleichung kenne ich, es gibt so einen Rechner für kubische Gleichungen, der auch beim Wiki-Artikel verlinkt ist.
Nur hab ich keine Ahnung, wie man darauf kommt.
Polynom-Division hört sich bestimmt nur komplizierter an, als es ist :D
Du kannst es ja mal kurz erklären, wenn du willst.
Ich glaub ich bin jemand der sowas relativ schnell verstehen kann, wenn die Erklärung wenigstens klar und deutlich ist ;) Aber bei Wikipedia hat man da natürlich keine Chance, wenn man die hälfte der Zeichen noch nie gesehn hat :D
Naja es hört sich ja recht einfach an ... Polynomdivision (wie auch immer das geht, aber ich schätze mal, dann hat man das x³ weg und kann dann mit einer quadratischen Gleichung weitermachen?) und dann die pq-Formel o.Ä anwenden und fertig ;)
Und dann einen der 2 ... oder 3? Werte aussuchen, die für x rauskommen :o
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Do 15.05.2008 | | Autor: | Herby |
ups - hier stand Blödsinn - denn in deiner Aufgaben ist ja noch eine 5 hinter dem "="
sorry
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Do 15.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herby!
Wo ist denn in dem genannten Beispiel $d \ = \ 0$ ? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Da steht doch ein $... \ = \ [mm] \red{5}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Do 15.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Herby!
d ist nicht 0 sondern d=5
Ausklammern bringt nichts
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Do 15.05.2008 | | Autor: | Herby |
oder ich zu langsam - hatte es gerade noch gesehen 
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Do 15.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo nochmal,
nach genauerer Betrachtung und der Berücksichtigung, dass da ja noch eine 5 in der Aufgabe rumspukt (ist aber auch gemein aufgeschrieben  ) - fällt sowohl das Ausklammern als auch die Polynomdivision ins Wasser, denn es gibt keine ganzzahlige Lösung.
Die anderen beiden sind zudem auch noch aus der Menge der komplexen Zahlen.
Liebe Grüße
Herby
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Zunächst mal kannst du einen Graphen für die Funktion [mm] f(x)=x^3+x^2+x-5 [/mm] zeichnen und schauen, wo der Nullstellen hat. (Es gibt nur eine bei ca. 1,2.) Das sind dann die Lösungen der angegebenen Gleichung. Diesen kannst du dich mit dem Taschenrechner durch Intervallschachtelung annähern.
Es gibt aber auch eine Lösungsformel. Diese ist sehr kompliziert. Hierzu musst du zunächst deine Gleichung "reduzieren". Das sorgt dafür, dass der quadratische Term verschwindet.
Zunächst schreibe ich deine Gleichung mal um in
[mm] y^3+y^2+y=5 [/mm] (nur ein anderer Buchstabe). Gesucht:y
Nun setze ich: x=y-1/3 (Wenn vor [mm] y^3 [/mm] eine 1 steht und vor [mm] y^2 [/mm] der Faktor a, bildet man x = y-a/3).
Eingesetzt erhältst du
[mm] (x-1/3)^3+(x-1/3)^2+(x-1/3)=5 [/mm] und daraus
[mm] x^3-x^2+x/3-1/27 [/mm] + [mm] x^2-2/3x^2+1/9+x-1/3=5 [/mm] oder
[mm] x^3+ [/mm] 2/3 x = 142/27. Wie du siehst, ist der quadratische Term verschwunden.
Wie man diese Gleichung löst, kannst du dem beigefügten Word-Dokument entnehmen, in dem du auch einen kurzen Überblick über den Geniestreich der Mathematiker um 1535 erfährst.
Die Formel findest du am Ende der 1. Seite.
Anschließend setzt du noch y=x+1/3 und hast die Lösung.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Zur Polynomdivision:
Wenn ein Polynom (hier [mm] x^3+x^2+x-5) [/mm] nur ganzzahlige Koeffizienten (wie hier) hat und wenn das Polynom ganzzahlige (hier leider nicht) Nullstellen hat, dann sind diese Nullstelle Teiler des absoluten Gliedes (also von -5, d.h. +1, -1, +5 und -5 kommen in Frage). Diese probiert man durch. Ist keine dieser Zahlen eine Nullstelle, so gibt es keine ganzzahlige Nullstelle und man bekommt diese nur durch Näherungsverfahren oder durch andere Lösungsformeln heraus.
Ist aber eine dieser Zahlen - nennen wir sie a - eine Nullstelle, so hat man diese natürlich mühelos finden können. In diesem Fall teilt man das Polynom durch den Faktor (x-a). Dann geht die Polynomdivision auf, es kommt als Ergebnis ein P. zweiten Grades heraus, und dessen Nullstellen (p-q-Formel!) sind die restlichen gesuchten Nullstellen. Falls p-q-Formel keine liefert, gibt es auch keine weiteren.
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Polynomdivision