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Forum "Number Theory" - Kürzbares Monoid & Grothendiek
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Kürzbares Monoid & Grothendiek: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:51 Mo 05/11/2018
Author: Flowbro

Aufgabe
Es sei [mm] X\not=\emptyset [/mm] eine Menge.
(a) Weisen Sie nach, dass F (X):={f [mm] \in(\(N_0)^{X}): [/mm] {x∈X: f [mm] (x)\not=0} [/mm] ist endlich} bezüglich (f*g)(x)= f (x)+g(x), wobei f,g∈F (X) und x∈X, ein abelsches kürzbares Monoid ist.
(b) Bestimmen Sie die Grothendieck-Gruppe zu F (X).

Hallo allerseits,

für eine Übung an der Uni habe ich diese "Bonusaufgabe" erhalten. Nun hatten wir weder den Begriff des Kürzbaren Monoids, noch weiß ich wie man eine Grothendieck-Gruppe konkret bestimmt. Da diese Aufgabe aber wichtige Punkte gibt, hoffe ich, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.

Viele Grüße Flowbro

        
Bezug
Kürzbares Monoid & Grothendiek: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:13 Mo 05/11/2018
Author: fred97


> Es sei [mm]X\not=\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

eine Menge.

> (a) Weisen Sie nach, dass F (X):={f [mm]\in(\(N_0)^{X}):[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> {x∈X: f [mm](x)\not=0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ist endlich} bezüglich (f*g)(x)= f

> (x)+g(x), wobei f,g∈F (X) und x∈X, ein abelsches
> kürzbares Monoid ist.
> (b) Bestimmen Sie die Grothendieck-Gruppe zu F (X).
>  Hallo allerseits,
>  
> für eine Übung an der Uni habe ich diese "Bonusaufgabe"
> erhalten. Nun hatten wir weder den Begriff des Kürzbaren
> Monoids, noch weiß ich wie man eine Grothendieck-Gruppe
> konkret bestimmt. Da diese Aufgabe aber wichtige Punkte
> gibt, hoffe ich, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.

Gehe  so vor: mach Dich im Internet schlau und finde heraus,  was ein Monoid ist. Du wirst schnell  fündig.  Dann kümmere Dich darum,  wann ein Monoid kürzbar  heißt,  auch da  wird  man schnell  fündig.

Ebenso schnell  kann man herausfinden, wie die Grothendieck -Gruppe konstruiert  ist.

Hast Du all diese Informationen beisammen,  so ist die Aufgabe nicht  schwer.

>  
> Viele Grüße Flowbro


Bezug
                
Bezug
Kürzbares Monoid & Grothendiek: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:36 Di 06/11/2018
Author: Flowbro

Aufgabe
Es sei [mm] X\not=\emptyset [/mm] eine Menge.
(a) Weisen Sie nach, dass F (X):={f [mm] \in(\(N_0)^{X}): [/mm] {x∈X: f [mm] (x)\not=0} [/mm] ist endlich} bezüglich (f*g)(x)= f (x)+g(x), wobei f,g∈F (X) und x∈X, ein abelsches kürzbares Monoid ist.
(b) Bestimmen Sie die Grothendieck-Gruppe zu F (X).


Ein abelsches Monoid, ist klar, braucht Assoziativität, neutrales Element und Kommutativität: a,b,c element von F(X)

A-> ((a*b)*c)(x)=(a*b)(x)+c(x)=a(x)+b(x)+c(x)=a(x)+(b*c)(c)=(a*b*c)(x)
E-> sei g(x)= [mm] 0_{R}-> (f*g)(x)=f(x)+g(x)=f(x)+0_{R}=f(x) [/mm]
k->(a*b)(x)=a(x)+b(x)=b(x)+a(x)=(b*a)(x)

müsste doch soweit stimmen?!

Ein Monoid heißt kürzbar, falls für [mm] f,g,r\in [/mm] F(X) gilt, dass aus (rf)(x)=(rg)(x) folgt, dass f(x)=g(x) ist.
könnte man dies so zeigen:?
(rf)(x)=r(x)+f(x)=r(x)+g(x)=(rg)(x) -> f(x)=g(x)

Die Grothendieck-Gruppe ordnet den Monoid mit einem Homomorphismus einer Gruppe zu (z.b. der Gruppe der natürlichen/ganzen Zahlen), nur hab ich hier echt zu wenige Kenntnisse, um das konkret zu bestimmen.
Könnten es die natürlichen Zahlen mit der 0 sein???

Bezug
                        
Bezug
Kürzbares Monoid & Grothendiek: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:24 Mi 07/11/2018
Author: hippias


> Es sei [mm]X\not=\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

eine Menge.

>  (a) Weisen Sie nach, dass F (X):={f [mm]\in(\(N_0)^{X}):[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> {x∈X: f [mm](x)\not=0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ist endlich} bezüglich (f*g)(x)= f

> (x)+g(x), wobei f,g∈F (X) und x∈X, ein abelsches
> kürzbares Monoid ist.
>  (b) Bestimmen Sie die Grothendieck-Gruppe zu F (X).
>  
> Ein abelsches Monoid, ist klar, braucht Assoziativität,
> neutrales Element und Kommutativität: a,b,c element von
> F(X)
>  
> A->
> ((a*b)*c)(x)=(a*b)(x)+c(x)=a(x)+b(x)+c(x)=a(x)+(b*c)(c)=(a*b*c)(x)
>  E-> sei g(x)= [mm]0_{R}-> (f*g)(x)=f(x)+g(x)=f(x)+0_{R}=f(x)[/mm]

>  
> k->(a*b)(x)=a(x)+b(x)=b(x)+a(x)=(b*a)(x)
>  
> müsste doch soweit stimmen?!

Ja.

>  
> Ein Monoid heißt kürzbar, falls für [mm]f,g,r\in[/mm] F(X) gilt,
> dass aus (rf)(x)=(rg)(x) folgt, dass f(x)=g(x) ist.
>  könnte man dies so zeigen:?
>  (rf)(x)=r(x)+f(x)=r(x)+g(x)=(rg)(x) -> f(x)=g(x)

$F(X)$ ist also kürzbar, weil [mm] $\IN_{0}$ [/mm] kürzbar ist.

>  
> Die Grothendieck-Gruppe ordnet den Monoid mit einem
> Homomorphismus einer Gruppe zu (z.b. der Gruppe der
> natürlichen/ganzen Zahlen), nur hab ich hier echt zu
> wenige Kenntnisse, um das konkret zu bestimmen.
>  Könnten es die natürlichen Zahlen mit der 0 sein???

Du musst Dir die Definition schon etwas genauer durchlesen. Daher: schreib die Definition mal hier rein.


Bezug
                                
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Kürzbares Monoid & Grothendiek: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 08:41 Mi 07/11/2018
Author: Flowbro

Dann ist die a) ja schon mal erledigt, puh....

Die Definition lautet:
Ist H eine kommutative Halbgruppe, so gibt es eine kommutative Gruppe G(H) und einen Halbgruppen-Homomorphismus ϕ: H → G (H) mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Gruppe G und jedem Halbgruppen-Homomorphismus ϕ : H → G  gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus ψ : G (H) → G mit ϕ = ψ ∘ ϕ.

Damit komme ich aber wie gesagt nicht wirklich weiter...

Viele Grüße Flowbro

Bezug
                                        
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Kürzbares Monoid & Grothendiek: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:43 Mi 07/11/2018
Author: fred97


> Dann ist die a) ja schon mal erledigt, puh....
>  
> Die Definition lautet:
>  Ist H eine kommutative Halbgruppe, so gibt es eine
> kommutative Gruppe G(H) und einen
> Halbgruppen-Homomorphismus ϕ: H → G (H) mit folgender
> Eigenschaft: Zu jeder Gruppe G und jedem
> Halbgruppen-Homomorphismus ϕ : H → G  gibt es genau
> einen Gruppen-Homomorphismus ψ : G (H) → G mit ϕ = ψ
> ∘ ϕ.

Das hast Du aus Wikipedia , stimmts ?  Du solltest dort weiterlesen, da kommt etwas, das sich "Konstruktion" nennt. ....

>  
> Damit komme ich aber wie gesagt nicht wirklich weiter...
>  
> Viele Grüße Flowbro


Bezug
                                                
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Kürzbares Monoid & Grothendiek: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:49 Mi 07/11/2018
Author: Flowbro

Wenn ich das richtig verstehe, muss man zeigen, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt; also zeigt man
-Reflexivität
-Symmetrie
und Transitivität

Dafür fehlt mir jetzt aber die Ahnung, wie ich in diesem konkreten Fall überhaupt eine Äquivalenzrelation definieren kann.

Ein konkreterer Ansatz wäre sehr hilfreich, sonst tippe ich weiter im Dunkeln...

Viele Grüße Flowbro

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Kürzbares Monoid & Grothendiek: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:09 Mi 07/11/2018
Author: fred97


> Wenn ich das richtig verstehe, muss man zeigen, dass eine
> Äquivalenzrelation vorliegt; also zeigt man
> -Reflexivität
>  -Symmetrie
>  und Transitivität
>  
> Dafür fehlt mir jetzt aber die Ahnung, wie ich in diesem
> konkreten Fall überhaupt eine Äquivalenzrelation
> definieren kann.
>  
> Ein konkreterer Ansatz wäre sehr hilfreich, sonst tippe
> ich weiter im Dunkeln...

Ich tippe bald gar nix mehr ! Wie die Äquivalenzrelation definiert ist, steht doch ausführlichst , klein, klein und völlig klar unter "Konstuktion".

>  
> Viele Grüße Flowbro


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Kürzbares Monoid & Grothendiek: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:38 Mi 07/11/2018
Author: hippias

Es wäre auch die Frage, was mit Bestimmung der Grothendiek-Gruppe von $F(X)$ gemeint ist. Sicherlich sollst Du nicht die Äquivalenzrelation nachrechnen, sondern erkennen, zu welcher Gruppe $G(F(X)$ isomorph ist und diesen Isomorphismus beweisen.

Vielleicht hast Du ja anhand von Beispielen aus der Vorlesung, oder der auf der Seite aufgeführten, eine Vermutung, wie die Grothendiekgruppe aussehen könnte.

Trotzdem ist es natürlich eine gute Übung die Eigenschaften der Äquivalenzrelation nachzuweisen.

Bezug
                                        
Bezug
Kürzbares Monoid & Grothendiek: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:28 Mi 07/11/2018
Author: hippias

Übrigens ist mir aufgefallen, daß der Nachweis für ein Monoid noch nicht ganz vollständig ist: typischer Anfängerfehler!

Du musst noch begründen, weshalb die Summe zweier Funktionen wieder in $F(X)$ enthalten ist. Das ist aber nicht sehr schwer.

Bezug
        
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Kürzbares Monoid & Grothendiek: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 08:33 Do 08/11/2018
Author: Flowbro

Genau das ist mein Problem, danke hippias.

Da wir die Begriffe noch nicht in der Vorlesung hatten und diese erst noch kommen, gilt die Aufgabe als Bonus und wir hatten noch nicht ein Beispiel dazu.

Könnte die Grothendieck-Gruppe denn evtl. die natürlichen Zahlen (mit Null) mit der Addition sein?

Viele Grüße Flowbro


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